Verifique la diferenciabilidad en $x=0$

Aug 19 2020

Entonces, la declaración del problema en la que estoy trabajando es

Encuentra la integral indefinida de $\exp(-|x|)$ con respecto a $x$.

He proporcionado una respuesta a continuación, pero tengo algunas preguntas al final. Supongo que es más fácil si muestro mi trabajo primero (alternativamente, dirígete al último párrafo para saltar directamente a mi pregunta).

Mi respuesta \begin{align*} \int \exp(-|x|) dx &= \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}\\ &\overset{(\star)}{=} \begin{cases} -\exp(-x) + 2 + C \text{ if } x\geq0\\ \exp(x) + C \text{ if } x<0 \end{cases} \end{align*}

yo añadí $2$ al lado derecho del gráfico ya que en $x=0$, \begin{align*} -\exp(-0) + C_1 &= \exp(0) + C_2 \\ \implies -1 + C_1 &= 1 + C_2 \\ \implies C_1 &= 2 + C_2 \end{align*}

Agregué un gráfico para visualizar la discontinuidad que debe eliminarse. Estrictamente hablando, no he terminado aquí porque todavía necesito demostrar que la anti-derivada es diferenciable en el origen. Por lo tanto, traté de usar la definición de derivada, es decir

\ begin {ecuación *} f '(x_0) = \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \ end {ecuación *}

pero no estoy realmente seguro de si esto es correcto:

Límite a la izquierda

\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(x_0+h)+C-(\exp(x_0)+C)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)-1}{h} && \text{Rule of L'hopital}\\ &= 1 \end{align*}

Límite a la derecha

\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-x_0-h)+2+C-(-\exp(-x_0)+2+C)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(x_0)\exp(-h)+\exp(x_0)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-h)+1}{h} && \text{Rule of L'hopital} \\ &= 1 \end{align*}

a partir de esto parece agregar $2$¿Realmente no hizo una diferencia en esta prueba de diferenciabilidad? Tampoco me siento bien conmigo mismo usando Rule of L'hopital en una prueba de límite, pero realmente no tuve otra forma de continuar, así que eso es lo mejor que pude encontrar en esta situación.

Respuestas

2 Arthur Aug 19 2020 at 12:30

Añadiendo $2$ayuda mucho en el cálculo de los límites. Afecta mucho al límite de la izquierda. Mira el numerador$$ F(x_0+h)-F(x_0) $$ Aqui la izquierda $F$ usos $C_1$ y el derecho $F$ usos $C_2$, por lo que este numerador no se acerca $0$ en absoluto a menos que agregue el $2$.

En cuanto a cómo evitar l'Hopital, eso depende de cómo se defina $\exp$. En cualquier caso, puede observar que su límite de la izquierda es en realidad igual a la derivada del lado izquierdo de$e^x$ a $x=0$(simplemente inserte eso en la definición de la derivada y vea que obtiene lo mismo). De manera similar, el límite de la derecha es igual a la derivada de la derecha de$-e^{-x}$ a $x=0$. Entonces, si ya sabe cuáles son estos dos derivados, ya está.

1 JoséCarlosSantos Aug 19 2020 at 12:26

Si no agregas eso $2$, su función ni siquiera será continua en $0$, y por lo tanto no será diferenciable en ese momento. Si no pones eso$0$, la derivada izquierda en $0$ estarán$$\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+C-(-\exp(0)+C)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+1}h=-\infty.$$

1 YvesDaoust Aug 19 2020 at 12:42

A la izquierda, la antiderivada es

$$e^{x}+C_-$$ y a la derecha

$$-e^{-x}+C_+.$$

Debe asegurarse la continuidad en el punto de encuentro (porque es una antiderivada), y $$f(0)=1+C_-=-1+C_+$$ es requerido.


Ahora en positivo $h$

$$f'^+(0)\leftarrow\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{-e^{-h}+1}h$$ y $$f'^-(0)\leftarrow\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac{e^{-h}-1}h$$de modo que si existe el límite en el RHS, existe la derivada. Y ciertamente existe, ya que es la derivada derecha de la exponencial negativa.

1 mathcounterexamples.net Aug 19 2020 at 12:24

$f(x)=\exp(-\vert x \vert)$ es un mapa continuo ya que es una composición de mapa continuo.

Por lo tanto, no tienes que verificar que exista la derivada de su integral indefinida. Existe por el teorema fundamental del cálculo.

La igualdad

$$\int \exp(-|x|) dx = \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}$$ que escribiste no tiene sentido.

La integral indefinida es uno, no es diferente en el lado izquierdo y derecho del cero.

Lo que puedes escribir es

$$\int \exp(-\vert t \vert) dt= C + \int_0^x f(t) dt$$

Y luego separa los casos $x<0$ y $x \ge 0$.