Visualizando el esquema $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$
Dejar $k$ ser un campo algebraicamente cerrado (para mí estoy usando $k=\mathbb C$). Yo sé eso$\mathrm{Spec} \, k[x]/(x^2)$ consiste simplemente en el ideal principal $(x)$. De hecho, cualquier ideal$\mathfrak p$ de $k[x]/(x^2)$ es un ideal de $k[x]$ tal que $(x^2) \subset \mathfrak p$.
Si ahora consideramos $\mathrm{Spec} \, k[x,y]/(y^2)$, ahora los principales ideales de $k[x,y]$ son $(0)$, $(x-a,y-b)$ para $a,b \in k$ y polinomios irreducibles $f(x,y)$ generando $(f(x,y))$.
Claramente $(y^2)\not\subset (0)$. En cuanto a los polinomios irreducibles, tenemos$(y^2) \subset k[x,y]f(x,y)$, entonces creo que es correcto decir que los ideales en biyección con estos son de la forma $(a+f(x)y+g(x))$ dónde $a,b \in k$ y $f,g$irreducible. supongo$(x-a,y-b)$ también serían ideales primos del anillo del cociente, ya que el cociente entre ellos da un dominio integral.
Ahora me interesa comprender la generalización $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$. En particular:
- ¿Podemos clasificar todos los elementos del espectro de este anillo, para $n \geq 1$?
- ¿Podemos visualizar este esquema y se ha estudiado en algún contexto en la literatura?
Respuestas
Dejar $R=\frac {k[y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)} $
Luego $\operatorname {Spec} \frac {k[x,y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)}=\operatorname{Spec} R[x]= \mathbb A^1_R$, la línea afín sobre el ring $R$. Observa que desde$m= (\bar y_1,\bar y_2, \dots , \bar y_n )$, es un ideal máximo nilpotente de $R$, $\operatorname {Spec} R= \{m \}$, es decir, es un punto gordo en el sentido de Mumford.
Si $p\in \mathbb A^1_R$, considere su imagen en $\operatorname {Spec} R$ bajo la estructura morfismo $\mathbb A^1_R\xrightarrow{\pi} \operatorname{Spec} R$. Así$\pi(p)=m$.
Desde que tenemos $R/m \cong k $, vemos una correspondencia uno a uno $$\operatorname{Spec} R[x] \leftrightarrow \operatorname {Spec }k[x]$$
Así como $\textbf{sets}$ tienes $\mathbb A^1_R =\mathbb A^1_k $
Pero, por supuesto, las poleas de estructura son diferentes. $\mathbb A^1_R$ tiene nilpotentes en la estructura de la gavilla.