À propos de l'inégalité de Samuelson

Question

Si nous avons un ensemble de $n$ nombres réels: $$\Omega=x_1,x_2,x_3,..,x_n$$ la moyenne arithmétique est: $$A=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$ et l'écart type: $$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-A)^2}$$ Si l'ensemble de $n$ les nombres sont bornés de sorte que: $$m\le x_i\le M$$ un raffinement de l'inégalité de Samuelson prouvé par Bhatia et Davies est: $$S^2\le (M-A)(A-m)$$Ma question est la suivante: quand l'égalité tient-elle? L'égalité vaut-elle pour tout type de distribution des nombres$\Omega?$

Answer 1

Pour toute $i$ on voit ça $S^2$ est une fonction convexe de $x_i$, qui dit: $$\max_{m\leq x\leq M}S^2=\max_{x_i\in\{m,M\}}S^2.$$ Id est, l'égalité se produit pour $x_1=x_2=...=x_k=m$ et $x_{k+1}=...=x_n=M.$

Maintenant, nous devons choisir une valeur de $k$, pour lequel nous obtiendrons une valeur maximale.

J'espère que cela aidera.