À propos de la compactification en un point

Question

Dans "l'analyse réelle ..." de Folland, la compactification en un point est définie pour les espaces de Hausdorff non compacts, localement compacts. (La compacité locale n'est pas nécessaire pour la définition, mais sa compactification en un point fait Hausdorff). [Hausdorffness n'est pas non plus nécessaire, mais si nous disons que l'espace est Hausedorff, que dans la définition, nous ne pouvons utiliser que le mot "compact" et non "compact fermé"] ..

Il y a un exercice dans le livre, page 135, exercice 51: Si $X$ et $Y$ sont des espaces topologiques et $f$ est une fonction continue de $X$ à $Y$, alors on dit que $f$est correct si$f^{-1}(K)$ est compact dans $X$, pour chaque compact $K \subseteq Y$. Supposer que$X$ et $Y$ sont des espaces Hausdorff localement compacts et $X_1$ et $Y_1$sont leurs compactifications en un point respectives. Si$f$ est une fonction continue de $X$ à $Y$, que $f$ est correct ssi $f$ s'étend continuellement de $X_1$ à $Y_1$ en définissant $f(\infty_X)=\infty_Y$.

Je l'ai prouvé, mais n'utilisez nulle part le fait que $X$ et $Y$ sont localement compacts (c'est-à-dire n'utilisent nulle part $X_1$ et $Y_1$sont des espaces Hausdorff). Pouvez-vous me dire si ma preuve est correcte et si la compacité locale n'est vraiment pas nécessaire?

1. supposer $F$ est fermé dans $Y_1$, puis:

une. $Y_1\setminus F$ est compact dans $Y$ $\Rightarrow$ $f^{-1}[Y_1\setminus F]$ est compact dans $X$ $\Rightarrow$ $X_1\setminus f^{-1}[F]$ est compact dans $X$ $\Rightarrow$ $f^{-1}[F]$ est fermé dans $X_1$.

ou

b. $F=F_1\cup \{\infty_Y\}$ où $F_1$ est fermé dans $Y$. Il s'ensuit que$f^{-1}[F]=f^{-1}[F_1]\cup (f^{-1}[\{\infty_Y\}]=G_1\cup\{\infty_X\}$ où $G_1$ est fermé dans $X$ $\Rightarrow$ $f^{-1}[F]$ est fermé dans $X_1$.

1. Supposer $K$ est compact dans $Y$ $\Rightarrow$ $K$ est fermé dans $Y_1$ $\Rightarrow$ $f^{-1}[K]$ est fermé dans $X_1$ et il n'inclut pas $\infty_X$ $\Rightarrow$ $f^{-1}[K]$ est compact dans $X$.

Answer 1

Comme vous le dites, on peut définir une compactification en un point $X_1 = X \cup \{\infty\}$ pour les espaces arbitraires $X$( Alexandroff-compactification ). Un sous-ensemble$U_1 \subset X_1$ est défini comme étant ouvert dans $X_1$ si $U_1$ est un sous-ensemble ouvert de $X$ ou $X_1 \setminus U_1$ est un sous-ensemble fermé compact de $X$. En d'autres termes, les quartiers ouverts de$\infty$ dans $X_1$ sont les compléments de sous-ensembles fermés compacts de $X$.

Il est bien connu (et très facile à montrer) que $X_1$ est Hausdorff iff $X$est Hausdorff localement compact . Notez que si$X$ est Hausdorff mais pas localement compact, alors $X_1$ ne peut pas Hausdorff.

Le but de la construction ci-dessus est de doter l'ensemble $X_1$ avec une topologie telle que

1. La topologie du sous-espace de $X$ hérité de $X_1$ est la topologie d'origine sur $X$.

2. $X$ est ouvert dans $X_1$.

3. $X_1$ est compact.

Il est facile de voir qu'il existe une topologie unique sur$X_1$avec ces propriétés. Cette topologie a été introduite ci-dessus. Cela explique aussi pourquoi nous devons définir des quartiers ouverts de$\infty$ dans $X_1$être des compléments de sous-ensembles fermés compacts de$X$ et non comme des compléments de sous-ensembles compacts arbitraires de $X$. En fait, si$K \subset X$ est compact et $X_1 \setminus K$ est ouvert dans $X_1$, puis $K$ est fermé dans $X_1$ et donc $K = K \cap X$ est fermé dans $X$.

Notez qu'en général il existe des sous-ensembles compacts $K \subset X$ qui ne sont pas fermées (par exemple dans tout$T_1$espace, nous trouvons des sous-ensembles à un point qui ne sont pas fermés). Un espace dans lequel tous les sous-ensembles compacts sont fermés est appelé un espace KC . Il est clair que les espaces Hausdorff ont cette propriété.

Nous arrivons maintenant à votre question. Pour éviter une notation ambiguë, écrivons$f_1 : X_1 \to Y_1$ pour l'extension de $f$ via $f_1(\infty_X) =\infty_Y$. Nous avons alors sans aucune exigence sur$X,Y$

$f_1$ est continu si $f$ a la propriété $$(*) \quad f^{-1}(K) \text{ is compact for each compact closed } K \subset Y .$$

$(*)$est une variante plus faible du propre que je pourrais appeler adhoc cl-propre . Il est d'accord avec "convenable" si$Y$ est un espace KC, en particulier si $Y$est Hausdorff. Notez également que dans$(*)$ nous pouvons exiger de manière équivalente que $f^{-1}(K)$ est un sous-ensemble fermé compact de $X$ car $f$ est continue.

Pour le prouver, considérez $V_1 \subset Y_1$ouvert. Si$V_1 \subset Y$, puis $f_1^{-1}(V_1) = f^{-1}(V_1)$ est ouvert dans $X$ (depuis $f$ est continue), et donc ouverte dans $X_1$. Par conséquent$f_1$ est continu si $f_1^{-1}(V_1)$ est ouvert dans $X_1$ pour tous $V_1 = Y_1 \setminus K$ avec compact fermé $K \subset Y$. Mais$f_1^{-1}(Y_1 \setminus K) = X_1 \setminus f_1^{-1}(K) = X_1 \setminus f^{-1}(K)$, et cet ensemble est ouvert dans $X_1$ iff $f^{-1}(K)$ est un sous-ensemble fermé compact de $X$.

Donc vous avez raison, si nous travaillons avec la compactification d'Alexandroff, alors il est toujours vrai que$f$ est cl-propre ssi $f_1$est continue. Si nous insistons sur votre définition du propre, c'est vrai pour les espaces KC$Y$, en particulier pour Hausdorff $Y$.

Laissez-nous enfin discuter de votre preuve.

Votre preuve de 2. ($f_1$ continu implique $f$ correct) est correct, mais ne fonctionne que pour un KC $Y_1$ depuis que vous l'utilisez $K$ est fermé dans $Y_1$. Nous n'avons pas besoin d'hypothèses sur$X_1$ car les sous-ensembles fermés d'espaces compacts sont toujours compacts.

Votre preuve de 1. ($f$ bon implique $f_1$continue) ne fonctionne pas. Vous voulez le montrer en prouvant que si$F_1 \subset Y_1$ est fermé, alors $f_1^{-1}(F_1) \subset X_1$est fermé. Vous considérez deux variantes (a.)$Y_1\setminus F_1$ est compact dans $Y$ et B.) $F_1 = F \cup \{\infty_Y\}$. Dans les deux cas$\infty_Y \in F_1$, donc vous ne considérez pas le cas $\infty_Y \notin F_1$, mais c'est trivial.

En (a.) En général $Y_1 \setminus F_1$ ne sera pas compact, et de même si $X_1\setminus f^{-1}(F_1)$ est compact dans $X$, puis en général $f^{-1}(F_1)$ ne sera pas fermé dans $X_1$.

Dans (b.) Vous écrivez $F_1 = F \cup \{\infty_Y\}$ et prétendre sans preuve que $f^{-1}(F) \cup \{\infty_X\}$est fermé. Mais cette lacune peut facilement être comblée.

Answer 2

Une compacité locale est nécessaire pour qu'il y ait une compactification en un point. Pour, si$\hat X$ est la compactification en un point de $X$, puis $X$ est ouvert dans $\hat X$. Il s'ensuit que, puisque$\hat X$ est un Hausdorff compact, qui $X$ est Hausdorff localement compact.

Cependant, il semble que nous pourrions nous passer de l'hypothèse Hausdorffness, comme le souligne @BrianMScott.