Aide à comprendre un processus de Poisson

Question

juste un rapide (vraisemblablement). J'essaie juste de comprendre quelques points:

Laisser $N_{t},t\geq 0$être un processus de comptage. alors on dit qu'un processus de comptage est un processus de poisson d'intensité$\lambda$ si

• les variables aléatoires $N_{t+s} - N_{t}$ est indépendant de $\{N_u, 0 \leq u \leq t\}$ pour tous $s,t \geq 0$
• La variable aléatoire $(N_{t+s} - N_{t}) \sim Pois(\lambda s)$

Cette définition équivaut à: $\forall t \geq 0:$

• $P(N_{t+h} - N_{t} = 1) = \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 0) = 1 - \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 2) = o(h)$

ce qui, d'après ma compréhension, nous dit que le processus ne peut être incrémenté que d'un à chaque pas de temps. (troisième puce). Que la probabilité d'augmenter de un est donnée par notre intensité multipliée par combien de temps nous sommes dans cet intervalle de temps. et le deuxième point est évidemment notre compliment.

Ensuite, nous parlons des temps d'incrémentation (qui, je crois, sont les mêmes que les temps de maintien) $T_{1},T_{2},\cdots$ alors on dit que $T_n = \inf\{t\geq 0: N_{t} \geq n \}$ Autrement dit, la première fois que nous dépassons une valeur spécifiée (n)

puis les temps entre les arrivées $(T_{n+1}-T_{n}) \sim \exp(\lambda)$

Alors ... d'après ce que j'ai compris alors; $T_{n}$ est le moment où nous avons compté un nombre supérieur à n. $T_{n+1}-T_{n}$ est combien de temps il a fallu pour y arriver de l'état précédent?

Si c'est le cas, disons que nous spécifions un processus. prendrions-nous une valeur de notre processus poisson, puis attendrions un laps de temps déterminé par un processus exponentiel, puis prenions une valeur de notre processus poisson.

ainsi ce sera. Valeur de temps exponentielle 1: - compte 1 - valeur de temps exponentiel 2 - compte 2 ... et ainsi de suite.

Answer 1

Il est au mieux plutôt imprécis de dire "le processus ne peut être incrémenté que d'un à chaque pas de temps", car

• il s'agit d'un processus en temps continu, il n'y a donc pas de "pas de temps", et
• il n'y a pas d'intervalle de temps si court que les processus ne puissent pas s'incrémenter de plus d'un pendant cet intervalle de temps; au contraire, incrémenter de plus d'un est hautement improbable, même en comparaison avec l'événement très improbable d'un incrément pendant un minuscule intervalle de temps.

Cependant, le processus ne peut être incrémenté que d'un à chaque fois lorsqu'il s'incrémente.

Il faut connaître la différence entre deux mots différents: «compliment» (avec un «i») et «complément» (avec un «e»). Si je dis que votre message est génial, c'est un compliment (avec un «i»). Le complément (avec un «e») de XYZ est tout ce qui doit être ajouté à XYZ pour le rendre complet . Le fait qu'un "e" soit utilisé à la même position dans le mot "complément" et "complet" n'est pas une simple coïncidence.