Annihilateur de module simple

Question

Laisser $C$ être un produit fini $R$-algèbre où $R$est un anneau commutatif unital. Laisser$S$ être simple $C$-module. Montrez que l'annihilateur de$S$ dans $R$ est un idéal maximal.

Ce que j'ai essayé, c'est: quand $C=R$ alors c'est une conséquence directe de la simplicité de $S$ comme un $R$-module. De plus, depuis$S$ c'est simple alors $S$ est cyclique (ie $S=Cy$ pour différent de zéro $y\in S$). Considérez la carte$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ ensuite $\ker(f)$ est l'annihilateur de $S$ dans $C$ et $\ker(f) \cap R$ est l'annihilateur de $S$ dans $R$. J'ai montré que c'est un idéal de$R$mais je n'ai aucune idée de continuer à montrer la maximalité. Est-ce une vraie direction ou y a-t-il autre chose que je devrais considérer pour montrer la maximalité?

Answer 1

J'ai une idée: si on restreint la carte $f: C \to S$ sur $R$. Ensuite, nous avons un isomorphisme entre$f(R)=Ry$ et le quotient $R/(\ker(f) \cap R)$, où $\ker(f) \cap R$ est l'annihilateur de $S$ dans $R$.

Alors pour montrer $R/(\ker(f) \cap R)$ est maximal, il suffit de montrer que $Ry$ est simple comme un $R$-module. Laisser$ry \in Ry$être un élément différent de zéro. Alors clairement$Ry$ contient $\langle ry \rangle$ comme $R$-modules. À l'inverse, depuis$ry \in Ry \subset S$ est différent de zéro, $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. Donc$Ry = \langle ry \rangle$ pour tout autre que zéro $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ est simple et $R/(\ker(f) \cap R)$ est maximal.

Veuillez me faire savoir s'il y a une ambiguïté dans ma réponse.