Application de la version homogène de Nakayama Lemma

Question

Je suis actuellement coincé dans la preuve de la proposition A.2.3. à la page 267 des idéaux monétaires par Herzog et Hibi.

Considérons d'abord le diagramme commutatif suivant $\require{AMScd}$ \ begin {CD} F @> {\ varepsilon} >> U \\ @V \ alpha VV @VV \ varphi V \\ G @> {\ eta} >> V \ end {CD} Ici$U,V,F,G$ sont $S$-modules, $S=K[x_1,\dots,x_n]$ est l'anneau polynomial à coefficients sur un champ $K$. $F$ et $G$ sont des modules fg gratuits, $\varepsilon$ et $\eta$ sont des homomorphismes surjectifs homogènes avec $\ker(\varepsilon)\subseteq\mathfrak{m}F$ et $\ker(\eta)\subseteq\mathfrak{m}G$, et $\mathfrak{m}=(x_1,\dots,x_n)$ est l'unique idéal omogène maximal de $S$.

À la page 268, nous considérons le diagramme commutatif suivant $\require{AMScd}$ \ begin {CD} F / \ mathfrak {m} F @> {\ overline {\ varepsilon}} >> U / \ mathfrak {m} U \\ @V \ overline {\ alpha} VV @VV \ overline {\ varphi} V \\ G / \ mathfrak {m} G @> {\ overline {\ eta}} >> V / \ mathfrak {m} V \ end {CD} où les cartes sont les plus évidentes. Par la costruction$\overline{\varepsilon},\overline{\varphi},\overline{\eta}$ sont l'isomorphisme, donc $\overline{\alpha}$est un isomorphisme. Afin de compléter la preuve, il faut montrer que$\alpha$est aussi un isomorphisme. Le livre mentionne seulement qu'une version homogène du lemme de Nakayama doit être utilisée. C'est là que je suis coincé.

C'est la version que j'ai pensé utiliser:

Si $M$ est finement généré gradué $S$-module et $m_1,\dots, m_t\in M$ produire $M/\mathfrak{m}M$, puis $m_1,\dots,m_t$ produire $M$.

Je sais aussi par isomorphisme de produit tensoriel de base que $M/\mathfrak{m}M\cong K\otimes_S M$ pour toute $S$-module $M$. Je ne comprends pas comment utiliser ceci pour prouver que$\ker(\alpha)=0$ par exemple.

Answer 1

$\newcommand{\m}{\mathfrak m}$ Voici un corollaire utile de Nakayama homogène:

Supposer $M$ est un gradé fini $S$-module. Considérez la dimension finie$k$-espace vectoriel $M/\m M$ et laissez $n$être sa dimension. ensuite$m_1,\ldots,m_n$ est un ensemble minimal de générateurs de $M$ iff $\{m_1+\m M,\ldots, m_n+\m M\}$ est une base pour $M/\m M$.

Comme $\bar\alpha$ est un isomorphisme, il prend une base de $F/\m F$ à une base de $G/\m G$. Depuis$F$ et $G$ sont finis libres, le corollaire ci-dessus implique que $\alpha$ cartographie une base de $F$ à une base de $G$.