Auto-carte de courtes séquences exactes

Question

Considérons le diagramme commutatif des groupes abéliens finis $\require{AMScd}$ \ begin {CD} 0 @ >>> A @> i >> B @> \ pi >> C @ >>> 0 \\ \ @VV 0 V @ VVfV @ VV 0 V \\ 0 @ >>> A @ >> i> B @ >> \ pi> C @ >>> 0 \ end {CD} où toutes les cartes sont des homomorphismes, les lignes sont exactes et la carte verticale la plus à gauche et la plus à droite sont nulles? Est la carte du milieu$f$ aussi zéro?

Il est clair que $f\circ f=0$ mais c'est tout ce qui semble résulter de la poursuite de diagrammes paresseux, donc je soupçonne $f$ne doit pas être nul, en général. Si oui, qu'est-ce qu'un contre-exemple?

Answer 1

Prenez la séquence $0\to Z/2Z\to Z/4Z\to Z/2Z\to 0$ et la multiplication de la carte verticale par 2.