Bien comprendre les espaces vectoriels
Je veux vraiment acquérir une solide compréhension de l'algèbre linéaire abstraite pour 2 raisons, je veux approfondir les mathématiques pures pour la joie (algèbre abstraite, théorie des nombres, etc.) et avoir une compréhension plus approfondie du fonctionnement des algorithmes d'apprentissage automatique sous le capot.
J'ai eu du mal à bien comprendre les espaces vectoriels. J'ai lu les axiomes, leurs preuves et d'autres exemples / exemples d'exercices sur eux dans les deux manuels ainsi qu'ici sur l'échange de piles mathématiques. Quand je regarde les solutions ici et sur un échange de pile mathématique sur la raison pour laquelle un certain objet est un espace vectoriel ou non, je ne suis pas le raisonnement. Voici une vieille question d'ici (ce n'est qu'un exemple, il y en a beaucoup d'autres que je ne suis pas)
Quand j'ai regardé la très brève réponse acceptée qui dit simplement:
Soit 𝑢 = (1,0) et 𝑣 = (0,1). Alors 𝑢 + ′ 𝑣 = (1, −1) et 𝑣 + ′ 𝑢 = (2,3).
Je ne comprends pas comment sont-ils arrivés à (2,3)?
J'ai regardé la 2ème solution qui a beaucoup plus de détails et je suis assez confus. Il semble que les manipulations algébriques se font d'une manière différente de ce à quoi je m'attendrais en connaissant l'algèbre du lycée?
Par exemple ici (désolé encore besoin d'apprendre le latex):
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = (𝑥1 + 2𝑦1,3𝑥2 − 𝑦2) + (𝑧1, 𝑧2) = (𝑥1 + 2𝑦1 + 2𝑧1,3 (3𝑥2 − 𝑦2) −𝑧2) = (𝑥1 + 2𝑦1 + 2𝑧1,9𝑥2− 3𝑦2 − 𝑧2)
quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment chacune de ces équations est arrivée au détail? Je ne comprends pas pourquoi vous pouvez ajouter un "+ 2z1" alors que c'était juste "z1" par lui-même? Aussi, dans l'équation suivante, pourquoi pouvez-vous faire "3 (3𝑥2 − 𝑦2)", il semble que vous appliquez le multiplicateur 3 2 fois? Et le même raisonnement me manque dans l'équation 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) mais je suppose que ce serait similaire.
Merci!
Réponses
L'addition de vecteur normal est définie de telle sorte que, étant donné deux vecteurs (bidimensionnels) $\vec x = (x_1, x_2)$ et $\vec y = (y_1, y_2)$, leur somme $\vec x + \vec y = (x_1, x_2) + (y_1, y_2)$ est défini comme étant égal à $(x_1 + y_1,\ x_2 + y_2)$. En d'autres termes,$$(x_1, x_2) + (y_1, y_2) \overset{\rm def}{=} (x_1 + y_1,\ x_2 + y_2).$$
(Notez que le $+$ signe sur le côté gauche du $\overset{\rm def}{=}$symbol est vraiment une nouvelle opération que nous définissons, car nous n'avons pas encore défini ce que signifie ajouter deux vecteurs ensemble. Les deux$+$ les signes sur la droite, cependant, indiquent simplement l'addition ordinaire de deux nombres.)
Maintenant, la question demande ce qui se passerait si nous devions définir différemment ce nouvel opérateur d'addition vectorielle . Pour éviter de confondre cette définition alternative avec la définition normale donnée ci-dessus, désignons l'opérateur d'addition alternatif par un symbole différent. La question utilise$+'$ pour ce nouvel opérateur, mais je n'aime pas vraiment ce choix pour des raisons typographiques (l'apostrophe semble trop déconnectée du signe plus), alors laissez-moi l'appeler $\oplus$au lieu. Ainsi, notre règle alternative d'ajout de vecteurs ressemble maintenant à ceci:$$(x_1, x_2) \oplus (y_1, y_2) \overset{\rm def}{=} (x_1 + 2y_1,\ 3x_2 - y_2).$$
Maintenant, la question est de savoir si l'ensemble $\mathbb R^2$, équipé de l'opérateur de multiplication vectorielle habituel $\cdot$ et ce nouvel opérateur d'ajout alternatif $\oplus$, pourrait également satisfaire la définition d'un espace vectoriel sur$\mathbb R$.
En fin de compte, la réponse est «non». Et pour le prouver, il suffit de donner au moins un exemple de vecteurs pour lesquels au moins un des axiomes de la définition d'un espace vectoriel ne tient pas.
Maintenant, l'un de ces axiomes est que l'addition de vecteurs doit être commutative: si $+$ désigne l'opérateur d'addition dans un espace vectoriel, alors $\vec x + \vec y$ doit toujours être égal à $\vec y + \vec x$. Il est clair que cet axiome est valable pour l'opérateur d'addition habituel, tel que défini en haut de cette réponse. Cela vaut-il également pour l'opérateur alternatif$\oplus$?
Un instant de réflexion devrait révéler que non, car $x_1 + 2y_1$ n'est généralement pas égal à $y_1 + 2x_1$. (En fait, les deux expressions ne sont égales que si$x_1 = y_1$.) Et, d'ailleurs, $3x_2 - y_2$ n'est pas non plus égal à $3y_2 - x_2$ sauf si $x_2 = y_2$.
Donc, cet opérateur d'addition alternatif $\oplus$ en fait, l'exigence de commutativité échoue à peu près autant qu'il est possible de l'échouer: $\vec x \oplus \vec y \ne \vec y \oplus \vec x$ n'importe quand $\vec x \ne \vec y$.
Mais, comme je l'ai noté précédemment, nous n'avons pas vraiment besoin de prouver que cet échec de commutativité se produit pour toutes les paires de vecteurs non égaux$\vec x$ et $\vec y$. Tout ce que nous devons faire est de montrer une paire de vecteurs pour laquelle il ne tient pas. Alors choisissons simplement deux vecteurs distincts - disons,$\vec x = (0,1)$ et $\vec y = (1,0)$ - et faites l'arithmétique:
$$\begin{alignat}{3} \vec x \oplus \vec y &=\;& (0,1) \oplus (1,0) &=\;& (0 + 2 \cdot 1,\ 3 \cdot 1 - 0) &= (2,3) \\ \vec y \oplus \vec x &=\;& (1,0) \oplus (0,1) &=\;& (1 + 2 \cdot 0,\ 3 \cdot 0 - 1) &= (1,-1). \end{alignat}$$
Bien sûr, vous pouvez tout aussi bien choisir n'importe quelle autre paire de vecteurs distincts. Et bien sûr, peu importe que vous appeliez les vecteurs d'exemple$\vec x$ et $\vec y$ ou $\vec u$ et $\vec v$ou peu importe. Et peu importe que vous écriviez vos symboles vectoriels comme$\vec x$ ou $\bar x$ ou $\mathbf x$ ou juste $x$, bien que vous devriez généralement essayer de suivre la convention utilisée par votre manuel.