Bundle normal et petite contraction en trois fois

Question

Laisser $f:X \to \mathbb{A}^1$ être un morphisme lisse et projectif de dimension relative $2$. Supposons que la fibre$X_0:=f^{-1}(0)$ contient une courbe rationnelle irréductible, disons $C$ de telle sorte que la restriction du bundle canonique $K_{X_0}$ de $X_0$ à $C$est trivial. Supposons qu'il existe un morphisme birational propre$g:X \to Y$ contracter $C$ c'est à dire, $g$ induit un isomorphisme (sur son image) lorsqu'il est restreint au complément $X \backslash C$ et $C$ correspond à un point de $Y$ (on peut supposer que l'image de $C$ est un double point ordinaire dans $Y$). Comme$C$ est rationnel, on sait que $N_{C|X}$ est de la forme $\mathcal{O}_C(a) \oplus \mathcal{O}_C(b)$. Que pouvons-nous dire sur$a$ et $b$? Existe-t-il une technique standard pour calculer$a$ et $b$? Je serai très intéressé de connaître des références / littératures qui étudient des questions similaires (en courts faisceaux normaux de courbes rationnelles contractibles en trois volets).

Answer 1

La séquence exacte $$ 0 \to N_{C/X_0} \to N_{C/X} \to N_{X_0/X}\vert_C \to 0 $$ dans ce cas se lit comme $$ 0 \to \mathcal{O}_C(-2) \to N_{C/X} \to \mathcal{O}_C \to 0 $$ ce qui signifie que soit $(a,b) = (0,-2)$ (si la classe d'extension est triviale) ou $(a,b) = (-1,-1)$ (si la classe d'extension n'est pas triviale).