Calcul de Schubert

Question

Laisser $X = Gr(2,4)$ le complexe Grassmannien de $2$-avions dans $V = \Bbb C^4$ et $S$ le faisceau tautologique, $Q$le paquet quotient. L'anneau de cohomologie est généré par$c_1(S), c_2(S)$ avec les relations $c(S)c(Q) = 1$, provenant de la courte séquence exacte de faisceaux vectoriels $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

On devrait avoir $c_1(S)^4 = 1$purement de ces relations mais je ne suis pas en mesure de le faire. Quelqu'un peut-il expliquer comment le faire?

Answer 1

Tout d'abord, $c_1(S)^4 = 2$, pas 1. Le calcul lui-même est assez facile. Laissez-moi dénoter$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. Alors les relations sont$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ Le premier donne $b_1 = -a_1$, le second donne $b_2 = a_1^2 - a_2$, et les deux derniers donnent $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ Une combinaison des deux dernières égalités donne $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ Par conséquent $a_1a_2^2 = 0$. Cela signifie que l'anneau de cohomologie s'étend sur$\mathbb{Z}$ par $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, et cela $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ qui se traduit par l'égalité requise $c_1(S)^4 = 2$.