Cartes entre les objets colimit

Question

Laisser $\lbrace A_i \rbrace_{i\in I}$ et $\lbrace B_j \rbrace_{j\in J}$ être deux diagrammes dans une catégorie $\mathcal{C}$. Laisser$A=\text{colim}_{i\in I} A_i$ et $B= \text{colim}_{j\in J} B_j$. Étant donné deux cartes$f,g: A\rightarrow B$, en supposant que le coéqualiseur $C$ existe, peut $C$ être présenté en termes de colimite d'un diagramme constitué d'objets $A_i$ et $B_j$?

Answer 1

C'est une conjecture tentante mais fausse! Laissez tout le$A_i$ et $B_i$ être des copies de $\mathbb{Z}$ dans la catégorie $\text{Ab}$des groupes abéliens et que les deux colimites soient des coproduits. Ensuite , chaque groupe abélien se produit comme coequalizer d'une paire de cartes entre ces coproduits (cela dit exactement que chaque groupe abélien a une présentation) , mais pas tous les groupes commutatif se produit comme colimite de copies$\mathbb{Z}$. J'ai posé exactement cette question sur MathOverflow il y a quelque temps et j'ai obtenu une réponse négative très informative.

Answer 2

Permettez-moi de changer de notation. Laisser$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ et $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ être des foncteurs, laissez $\mathcal{D}$ être la sous-catégorie complète de $\mathcal{C}$ enjambée par les images de $X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ et $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$, et laissez $\bar{X} = \varinjlim_\mathcal{I} h_X$ et $\bar{Y} = \varinjlim_\mathcal{J} h_Y$ dans $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, où nous définissons $h_T (S) = \mathcal{C} (S, T)$. Puis,$$\textstyle [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}](\bar{X}, \bar{Y}) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y)$$ donc un morphisme $f : \bar{X} \to \bar{Y}$ peut être décomposé en une famille de morphismes $X (i) \to Y (j_i)$ indexé par $i \in \operatorname{ob} \mathcal{I}$, modulo une certaine relation d'équivalence. D'un autre côté, même si$X$ et $Y$ avoir des colimites dans $\mathcal{C}$, au mieux on ne peut que dire $$\textstyle \mathcal{C} \left( \varinjlim_\mathcal{I} X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ et bien qu'il existe une carte de comparaison canonique $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y) \to \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ ce n'est généralement pas une bijection.

Si - c'est un gros si - la paire parallèle$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ dans $\mathcal{C}$ qui vous intéresse peut être soulevé à travers cette carte de comparaison, alors leur coéqualiseur est une colimite d'un diagramme construit à partir de $X$ et $Y$.

En effet, laissez $f_0, f_1 : \bar{X} \to \bar{Y}$ être des morphismes dans $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Ensuite, nous pouvons former leur coéqualiseur$\bar{Z}$ dans $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Il y a un diagramme canonique$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ dont la colimite dans $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ est $\bar{Z}$. Explicitement,$\textbf{El} (\bar{Z})$ est la catégorie suivante:

• Les objets dans $\textbf{El} (\bar{Z})$ sont des paires $(D, z)$ où $D$ est un objet dans $\mathcal{D}$ et $z$ est un élément de $\bar{Z} (C)$.
• Les morphismes $(D, z) \to (D', z')$ dans $\mathcal{K}$ sont les morphismes $g : D \to D'$ dans $\mathcal{D}$ tel que $z' \cdot g = z$.
• La composition est héritée de $\mathcal{D}$.

Il y a une projection évidente $R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ et il est simple de vérifier que $\bar{Z} \cong \varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} h_R$. Je prétends:$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ est le coéqualiseur de $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ dans $\mathcal{C}$, au sens fort que $\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ existe dans $\mathcal{C}$ si et seulement si le coéqualiseur existe dans $\mathcal{C}$ et ils sont isomorphes.

Laisser $\bar{\mathcal{D}}$ être la sous-catégorie complète de $\mathcal{C}$ enjambé par les objets $C$ dans $\mathcal{C}$ tel que, pour chaque objet $T$ dans $\mathcal{C}$, la carte canonique (induite par la restriction de l'incorporation de Yoneda) $$\mathcal{C} (C, T) \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] (h_C, h_T)$$est une bijection. Le lemme habituel de Yoneda nous dit$\mathcal{D} \subseteq \bar{\mathcal{D}}$, mais, pour tout diagramme $Z : \mathcal{K} \to \bar{\mathcal{D}}$, $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{K} \mathcal{C} \left( Z, T \right) \cong \varprojlim_\mathcal{K} [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( h_Z, h_T \right) \cong [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( \varinjlim_\mathcal{K} h_Z, h_T \right)$$ naturellement dans $T$, donc si $\varinjlim_\mathcal{K} Z$ existe dans $\mathcal{C}$ alors c'est aussi dans $\bar{\mathcal{D}}$ - en bref, $\bar{\mathcal{D}}$ est fermé sous les colimites qui existent dans $\mathcal{C}$. En particulier,$\varinjlim_\mathcal{I} X$ et $\varinjlim_\mathcal{J} Y$ sont dans $\bar{\mathcal{D}}$, et si la paire parallèle $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ dans $\mathcal{C}$ a un coéqualiseur que le coéqualiseur est également en $\bar{\mathcal{D}}$. Essentiellement, la définition de$\bar{\mathcal{D}}$garantit que tout ce qui peut être prouvé sur les colimites itérées dans$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ est également vrai dans $\mathcal{C}$, tant que toutes les colimites impliquées peuvent être réalisées en $\bar{\mathcal{D}}$. Ainsi, si la paire parallèle$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ dans $\mathcal{C}$ peut être soulevé en une paire parallèle $\bar{X} \rightrightarrows \bar{Y}$ dans $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, puis le coéqualiseur en $\mathcal{C}$ peut être identifié avec la colimite dans $\mathcal{C}$ d'un diagramme en $\mathcal{D}$.

Il peut être intéressant de noter que la représentation de Yoneda $\bar{\mathcal{D}} \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ peut ne pas être entièrement fidèle ni conserver les colimites ... mais il ne s'agit que de reformuler l'avertissement dans le premier paragraphe.