Champs quantiques comme opérateurs différentiels
Si je comprends bien, il y avait au départ deux formalisme pour QM, avant que Dirac ne les réunisse tous les deux avec sa fameuse notation braket:
Le formalisme de Schrödinger qui impliquait des opérateurs différentiels agissant sur des fonctions d'onde,
Le formalisme de Heisenberg qui impliquait des opérateurs linéaires agissant sur des vecteurs.
Maintenant, si nous considérons un champ scalaire $\phi$, le champ quantique $\hat{\phi}$est un opérateur donc il agit sur les kets. Nous avons une expression explicite de$\hat{\phi}$ en termes d'opérateurs d'annihilation et de création $a_{\mathbf {p} }$ et $a_{\mathbf {p} }^\dagger$:
$$ \hat{\phi} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p }{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^\dagger e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).$$
Les opérateurs de création et d'annihilation proviennent d'opérateurs de création et d'annihilation de l'oscillateur harmonique. Ceux-ci peuvent être exprimés en termes d'opérateurs de position et de momentum, qui ont une expression et un terme d'opérateurs différentiels. Alors, y a-t-il un moyen de voir$\hat{\phi}$comme un opérateur différentiel agissant sur des fonctions d'onde (comme le formalisme de Schrödinger)? De la même façon que$\hat{\mathbf{P}} = -i\hbar\nabla$par exemple? Existe-t-il de la littérature à ce sujet?
Réponses
Eh bien, étant donné un CCR à temps égal théorique de champ $$ [\hat{\phi}({\bf x},t),\hat{\pi}({\bf y},t)]~=~i\hbar {\bf 1}~ \delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}),$$ il existe la représentation de Schrödinger correspondante $$\hat{\pi}({\bf x},t)~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta \phi({\bf x},t)}, \qquad \hat{\phi}({\bf x},t)~=~\phi({\bf x},t),$$ qui écrit le champ de momentum $\hat{\pi}({\bf x},t)$en tant que dérivé fonctionnel . Voir également la fonction Schrödinger .
Tous les opérateurs ne peuvent pas être représentés sous une forme différentielle - le spin en est un bon exemple.
Cependant, la différence entre le formalisme de Heisenberg et de Schrödinger n'était pas celle des opérateurs différentiels par rapport aux matrices. Schrödinger a construit une image de mécanique quantique cohérente basée sur l'équation d'onde (qui a reçu son nom) - la mécanique des ondes , tandis que Heisenberg a construit la mécanique matricielle , où la dynamique a été décrite par l'équation de mouvement de Heisenberg pour les opérateurs. La différence est semblable à celle entre les équations de Hamilton-Jacobi et les crochets de Poisson en mécanique classique. La mécanique quantique fait encore assez fidèlement référence à cette distinction en utilisant les termes image de Schrödinger et image de Heisenberg pour les situations où la dépendance temporelle est portée respectivement par des fonctions d'onde et des opérateurs.
Je pense que je sais ce que vous demandez, alors je vais vous répondre avec quelques idées approximatives qui pourraient vous aider à avoir un aperçu.
Chaque espace de Hilbert séparable est isomorphe isométriquement à un espace $L^{2}(\mathbb{R}^n)$. Si j'ai un espace Hilbert séparable$X$, laisser $i:X\rightarrow L^2(\mathbb{R^n})$être l'isomorphisme. Si$A$ est un opérateur sur $X$ puis $A'$ est un opérateur sur $L^2 (\mathbb{R}^n)$ où $A' = i A i^{-1}$. Cela donne une correspondance entre les opérateurs sur les vecteurs abstraits et les opérateurs sur les fonctions.
La principale différence entre les images de Heisenberg et de Schrödinger est qu'à Heisenberg, nous considérons les opérateurs comme évoluant au fil du temps, tandis que dans l'image de Schrödinger, les opérateurs sont fixes et les états eux-mêmes dépendent du temps. En d'autres termes, dans l'image de Heisenberg, nous avons un espace d'états fixe$X$ et nous avons des opérateurs $A(t)$qui agissent là-dessus. le$A(t)$ est une représentation de groupe dans le sens où $A(t + s) = U(s)A(t)U(s)^{-1}$ pour une transformation unitaire $U(s)$ qui dépend en douceur de $s$. Dans la théorie quantique des champs, nous passons d'une dimension du temps à quatre dimensions de l'espace-temps. Par conséquent, nous devrions faire transformer les opérateurs en$A(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})A(x^{\mu})U(s^{\mu})^{-1}$.
Dans l'image de Schrödinger, nous considérons les États comme dépendant du temps. Donc, il y a une courbe$\psi: \mathbb{R} \rightarrow X$représentant l'évolution de l'état au fil du temps. Cela doit également se transformer de manière unitaire pour que$\psi(t + s) = U(s) \psi(t)$. Désormais, les opérateurs sont considérés comme fixes. Dans le scénario QFT, nous pouvons toujours traiter les opérateurs comme fixes et considérer les états comme ayant à la fois une dépendance spatiale et temporelle. j'écrirai$\psi(x^{\mu})$mais ne le confondez pas avec la fonction d'onde conventionnelle. Pour un point donné de l'espace-temps,$\psi(x^{\mu})$est lui-même un vecteur abstrait dans un espace de Hilbert séparable. Ou nous pouvons le considérer de manière équivalente comme une fonction sur un espace géométrique (tel que l'espace des déplacements d'un oscillateur harmonique). Nous avons une représentation unitaire U du groupe de Lorentz de sorte que$\psi(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})\psi(x^{\mu})$. Désormais, les opérateurs de momentum et de position sont des opérateurs fixes.
Le QFT traditionnel utilise en fait quelque chose comme l'image de Heisenberg que j'ai indiquée ci-dessus. Cependant, il est possible de le formuler de telle sorte qu'un «champ» soit vu comme une fonction prenant des points spatio-temporels comme entrées et des fonctions comme sorties. Cela ressemble peut-être plus à un domaine classique. Il attribue une fonction d'onde à chaque point de l'espace-temps. Ensuite, les opérateurs d'élan et de position agissent ponctuellement à chaque emplacement.