Clarification sur le mécanisme ANOVA
Ce site Web explique le ratio ANOVA et F comme suit:
"L'ANOVA répartit la variabilité entre toutes les valeurs en une composante qui est due à la variabilité entre les moyennes des groupes (due au traitement) et une autre composante qui est due à la variabilité au sein des groupes (également appelée variation résiduelle) -squares est associé à un certain nombre de degrés de liberté ... et le carré moyen (MS) est calculé en divisant la somme des carrés par le nombre approprié de degrés de liberté ... Le rapport F est le rapport de deux valeurs quadratiques moyennes ... "
Mes questions sont:
Comment ANOVA peut-il savoir diviser la variabilité en 2 composantes distinctes (en raison du traitement et en raison de la variation inhérente)?
À quoi se réfère-t-il deux carrés moyens (Le rapport F est le rapport de deux valeurs quadratiques moyennes). S'agit-il de carrés moyens dus au traitement et à une variation inhérente?
Merci d'avance.
Réponses
Considérez les données suivantes simulées dans R selon le modèle pour une ANOVA à un facteur avec trois niveaux du facteur et dix réplications à chaque niveau. Chaque niveau a une variance$\sigma^2 = 3^2 = 9.$
set.seed(2020)
x1 = rnorm(10, 20, 3)
x2 = rnorm(10, 21, 3)
x3 = rnorm(10, 22, 4)
x = c(x1,x2,x3)
gp = as.factor(rep(1:3, each=10))
Voici un diagramme en bandes en R montrant les dix observations dans chaque groupe.
stripchart(x ~ gp, pch="|", ylim=c(.5,3.5))
Le tableau ANOVA est donné ci-dessous:
anova(lm(x~gp))
Analysis of Variance Table
Response: x
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
gp 2 140.48 70.240 4.463 0.02115 *
Residuals 27 424.93 15.738
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
MSA = $15.7382$est la moyenne des variances au sein de chacun des trois groupes. C'est une façon d'estimer$\sigma^2.$[Peu importe que ce ne soit pas une très bonne estimation; avec seulement 30 observations au total, nous ne pouvons pas nous attendre à une estimation vraiment précise.]
mean(c(var(x1),var(x2),var(x3)))
[1] 15.7382
Si les trois groupes avaient la même moyenne $\mu$ (l'hypothèse de l'hypothèse nulle), alors les trois groupes signifient $(\bar X_1,\bar X_2, \bar X_3)$ aurait chacun une distribution normale avec une moyenne $\mu$ et variance $\sigma^2/10.$ Donc si $H_0$ étaient vrais, nous pourrions aussi estimer $\sigma^2$ comme le $10$ fois la variance de `` l'échantillon '' de trois $\bar X_i$s:
10*var(c(mean(x1),mean(x2),mean(x3)))
[1] 70.23971
Ainsi MS (Groupe) = $70.2397.$ [Car $H_0$est faux, cette estimation est beaucoup trop grande; les trois moyens expriment également les différences entre les groupes.]
Ainsi, la façon dont ANOVA "sait" comment obtenir les deux écarts est due aux deux procédures que nous venons de voir.
Si $H_0$ est vrai, les deux estimations de la variance ont tendance à être à peu près les mêmes, de sorte que le rapport F tend à $1.$ Plus le rapport F est supérieur $1,$ plus les preuves contre $H_0.$ Dans notre cas $F = 4.463 > 1.$ Prise en compte des degrés de liberté du numérateur et du dénominateur, $4.463$ est jugée "significativement" plus grande que $1.$
L'estimation de la variance dans le numérateur de $F$ implique les deux $\sigma^2$ et la différence dans la population du groupe signifie $\mu_.$ L'estimation de la variance dans le dénominateur n'implique que $\sigma^2.$
Voici un graphique de la fonction de densité de la distribution $\mathsf{F}(2, 27).$ La (petite) zone sous la courbe de densité à droite de la ligne pointillée verticale est la valeur P $0.02115.$
curve(df(x, 2, 27), 0, 10, lwd=2, ylab="PDF", xlab="F",
main="Density of F(2,27)")
abline(v = 4.463, col="red", lwd=2, lty="dotted")
abline(h=0, col="green2"); abline(v=0, col="green2")