Classification des extensons cyclotomiques [duplicata]
PS: Oups! C'est un peu double. Merci pour ceux qui se sont intéressés à ce post. Je supprimerai ce message dans quelques heures. Merci de citer le lien suivant Quels champs cyclotomiques sont différents?
PS2: Maintenant, ce message a une réponse correcte. Dois-je supprimer ce message?
Laisser $\zeta_n \in \mathbb{C}$ être un primitif $n^{\textrm{th}}$ racine de l'unité et de l'appel $\mathbb{Q}[\zeta_n]$ la $n^{\textrm{th}}$ extension cyclotomique de $\mathbb{Q}$.
Laisser $m$ et $n$être des entiers positifs. Décrivez une relation simple de$m$ et $n$ ce qui équivaut à $\mathbb{Q}[\zeta_n] = \mathbb{Q}[\zeta_m]$
Un étudiant résolvant des exercices sur la théorie de Galois a fait l'argument suivant. Considérer$\zeta_{19}$. Elle pouvait voir ça$-\zeta_{19}$ est l'un des primitifs $38$racine de l'unité. Alors elle conclut$\mathbb{Q}[\zeta_{19}] = \mathbb{Q}[\zeta_{38}]$. C'était vrai. Mais il semble qu'elle pensait que ces deux domaines ne sont pas les mêmes. Je lui ai dit le fait. Cependant, je ne peux pas dire qu'un critère simple équivaut à la question ci-dessus.
Pourriez vous m'aider s'il vous plait?
Réponses
En admettant que $n \ge m$ WLOG, $\mathbb{Q}[\zeta_n] = \mathbb{Q}[\zeta_m]$ (Notez que $=$ n'est pas ambiguë ici uniquement parce que ces extensions sont galoisiennes) ssi soit $n = m$ ou $m$ est étrange et $n = 2m$.
Il existe probablement plusieurs façons de le faire, mais en voici une relativement simple. $\mathbb{Q}[\zeta_n]$ et $\mathbb{Q}[\zeta_m]$ les deux s'intègrent dans $K = \mathbb{Q}[\zeta_{\ell}]$ où $\ell = \text{lcm}(n, m)$, et en tant que sous-champs de $K$ ils sont déterminés par la correspondance galoisienne: ce sont les champs fixes des sous-groupes du groupe galoisien $G = U(\ell)$ donné par les noyaux des cartes de quotient $U(\ell) \to U(n), U(\ell) \to U(m)$, et $\mathbb{Q}[\zeta_n] = \mathbb{Q}[\zeta_m]$ (encore une fois, ce n'est sans ambiguïté que parce qu'ils sont Galois) ssi ces sous-groupes sont égaux.
Par le théorème chinois du reste, pour comprendre ces noyaux, il suffit de travailler un premier à la fois et de comprendre les noyaux des cartes de quotient $U(p^a) \to U(p^b), a \ge b$. Si$p$ est étrange, c'est un homomorphisme surjectif entre les groupes cycliques, donc son noyau est l'unique sous-groupe de $U(p^a)$ d'index $p^{b-a}$ et en particulier, pour les $a$ sa taille détermine de manière unique la valeur de $b$. Il s'ensuit que$\nu_p(n) = \nu_p(m)$ pour tous les nombres premiers impairs $p$.
Donc, le seul écart possible entre $n$ et $m$ est au top $2$. À ce stade, nous n'avons pas besoin de continuer à analyser le groupe d'unités et nous pouvons argumenter comme suit: la condition$\varphi(n) = \varphi(m)$ implique, après avoir divisé la contribution des nombres premiers impairs, que soit
$$2^{\nu_2(n) - 1} = 2^{\nu_2(m) - 1}$$
(et donc que $n = m$) si $\nu_2(n), \nu_2(m) \ge 1$, ou ça $\nu_2(m) = 0$ et $\nu_2(n) = 0, 1$. Alors non plus$n = m$, ou $m$ est étrange et $n = 2m$, comme indiqué. Dans ce deuxième cas, nous avons que$- \zeta_m$ est un primitif $n^{th}$ racine de l'unité, généralisant votre exemple.