Classification des lagrangiens avec des équations d'Euler-Lagrange données
En physique (mathématique), les équations de mouvement d'un système de particules sont souvent interprétées comme des équations d'Euler-Lagrange pour un lagrangien approprié. $L=L(x,\dot x,t)$ où $x$ est une collection de variables.
Pour autant que je sache en physique, les équations de mouvement sont généralement déterminées expérimentalement en premier, et $L$est choisi a posteriori pour satisfaire ces équations et peut être quelques autres symétries naturelles. En physique classique (non quantique)$L$ n'a pas de signification physique autre que les équations d'Euler-Lagrange.
D'où le problème de l'unicité du Lagrangien: Peut-on classer tous les Lagrangiens $L$tel que ses équations d'Euler-Lagrange sont équivalentes à un système donné d'équations de mouvement? Une référence serait très utile.
Remarque. (1) Ma question est quelque peu vague car je ne sais pas ce que cela signifie exactement «équivalent». Le préciser fait partie de la question. Une option évidente pour définir l'équivalence est de dire "les deux systèmes d'équations différentielles ont exactement les mêmes solutions".
(2) Il est bien connu que les deux types suivants de transformations de $L$ conduisent à des systèmes d'équations équivalents (dans tous les sens):
(une) $L\to aL+b$ où $a,b$ sont des constantes.
(b)$L\to L+\frac{\partial F}{\partial x}\dot x+\frac{\partial F}{\partial t}$ où $F=F(x,t)$ est une fonction.
(3) Je suis loin de ce domaine et je ne connais peut-être même pas les résultats de base dans ce sens.
Réponses
En un sens, tous les Lagrangiens donnant les mêmes équations d'Euler-Lagrange sont épuisés par des transformations de votre type (b), ce qui ajoute une dérivée totale / divergence totale / terme frontière / ... Les transformations de votre type (a) peuvent altérer le Équations d'Euler-Lagrange, par exemple si $a\ne 1$, puis les équations EL sont remises à l'échelle par la même constante $a$. Peut-être que vous ne vous souciez pas d'un tel redimensionnement. Dans ce cas, pourquoi se soucier de toute sorte de violence qui peut être faite aux équations EL, tant qu'elles gardent les mêmes solutions. Ce point de vue change substantiellement la question, au point où la réponse générale n'est pas connue.
Le nom donné à votre question est le "problème inverse du calcul des variations" (également mentionné dans un commentaire de Robert Bryant!). La littérature est vaste, mais il y a un résultat central, qui correspond à la première partie du paragraphe précédent: (a) Un lagrangien$L(x,t)$a des équations de mouvement en voie de disparition ssi il s'agit localement (dans les variables indépendantes et dépendantes) d'une divergence totale. (b)$F(x,t)=0$ est localement une équation EL pour certains lagrangiens ssi la linéarisation de $F(x,t)$est un opérateur différentiel linéaire formellement auto-adjoint. La condition (b) est connue sous le nom de condition de Helmholtz.
Pour trouver des références, un bon début est de taper "problème inverse du calcul des variations" dans Google. Auparavant, il est venu sur MO ici, où vous pouvez également trouver quelques références, mais elles ne sont pas très à jour, car ce domaine est toujours en évolution:
- Quelles équations différentielles permettent une formulation variationnelle?
- https://mathoverflow.net/a/38827
- https://mathoverflow.net/a/81846
Ce problème est discuté dans Bryant, Griffiths, Hsu, Exterior Differential Systems et Euler-Lagrange Partial Differential Equations , pour les Lagrangiens pour les champs scalaires.