Commande des fonctions continues de topologie

Question

J'ai le problème matériel suivant:

Laisser $$Y$$être un ensemble ordonné dans la topologie ordonnée. Laisser$$f, g: X \to Y$$être continu. Montrez que l'ensemble$$\{x|f(x) \leq g(x) \}$$ est fermé dans $X.$

Ma preuve: nous montrons que le complément $\{x|f(x) > g(x) \}$est ouvert. Observe ceci$\{f(x)|f(x) > g(x) \}$est ouvert parce que c'est un rayon ouvert. Donc l'image inverse$f^{-1}(\{f(x)|f(x) > g(x) \}) = \{x|f(x) > g(x) \}$ sera ouvert car $f$ est continue.

Mais ce qui me frappe dans cette preuve, c'est que je n'avais besoin que d'utiliser la continuité de $f.$ Si j'avais seulement la continuité de $g$alors j'aurais aussi pu faire fonctionner la preuve. Tout ce qui est nécessaire est-il donc la continuité de l'une des fonctions? J'ai joué avec quelques exemples dans$\mathbb{R}$ et il semble que ce soit le cas, mais je ne suis pas sûr.

Answer 1

Voici un contre-exemple si $g$n'est pas continue. Laisser$X=Y=\Bbb R$, laisser $f(x)=0$ pour tous $x\in\Bbb R$, et laissez

$$g(x)=\begin{cases} -1,&\text{if }x\le 0\\ 1,&\text{if }x>0\,. \end{cases}$$

ensuite $\{x\in\Bbb R:f(x)\le g(x)\}=\{x\in\Bbb R:0\le g(x)\}=(0,\to)$, qui n'est pas fermé.

Votre argument s'égare au début, car ce n'est pas forcément vrai que $\{f(x):f(x)>g(x)\}$est ouvert. Supposer que$X=Y=\Bbb R$, $f(x)=0$ pour tous $x\in\Bbb R$, et $g(x)=x$ pour tous $x\in\Bbb R$; puis

$$\{f(x):f(x)>g(x)\}=\{0\}\,,$$

qui n'est pas ouvert.

Cependant, l'idée de montrer que $U=\{x\in X:f(x)>g(x)\}$est ouvert est un bon. Laisser$x_0\in U$, $a=g(x_0)$, $b=f(x_0)$. Supposons d'abord qu'il y ait$c\in(a,b)$. Laisser$V_a=(\leftarrow,c)$ et $V_b=(c,\to)$; $V_a$ est un nbhd ouvert de $a$ dans $Y$, et $V_b$ est un nbhd ouvert de $b$. Laisser$W_a=g^{-1}[V_a]$ et $W_b=f^{-1}[V_b]$; $f$ et $g$ sont continus, donc $W_a$ et $W_b$ sont des nbhds ouverts de $x_0$ dans $X$. Laisser$W=W_a\cap W_b$; $W$ est un nbhd ouvert de $x_0$, et pour chaque $x\in W$ nous avons $f(x)>c>g(x)$, alors $W\subseteq U$.

S'il n'y en a pas $c$, puis $b$ est le successeur immédiat de $a$ dans $Y$. Dans ce cas, laissez$V_a=(\leftarrow,b)=(\leftarrow,a]$ et $V_b=(a,\to)=[b,\to)$ et continuez à définir $W_a,W_b$, et $W$comme avant. Si$x\in W$, puis $f(x)\in V_b$, alors $f(x)>a$, tandis que $g(x)\in V_a$, alors $g(x)\le a$, et donc $f(x)>g(x)$, c'est à dire, $x\in U$. Ainsi, dans ce cas, nous constatons également que$x_0\in W\subseteq U$. En bref, chaque point de$U$ a un nbhd ouvert contenu dans $U$, alors $U$ est ouvert, comme souhaité.