comme convergence et argument ultérieur

Question

C'est une question sur la convergence et un argument ultérieur.

Laisser $\{X_t\}_{t>0}$ être un processus stochastique à valeur réelle défini sur un espace de probabilité $(\Omega,\mathcal{F},P)$. Nous supposons que$\lim_{t \downarrow 0}X_t =0$ en probabilité.

Laisser $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ être une suite de nombres positifs tels que $t_n \downarrow 0$ comme $n \to \infty$, et $\{t_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ être une sous-séquence de $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$. Car$\lim_{t \downarrow 0}X_t =0$ en probabilité, nous avons une sous-séquence $\{t_{n_{k_l}}\}_{l=1}^{\infty}$ de $\{t_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ tel que $\lim_{l \to \infty}X_{t_{n_l}}=0$ $P$-comme

Cependant, cela n'implique pas que $\lim_{n \to \infty }X_{t_n}=0$ $P$-comme parce que la convergence n'est pas métrisable en général. Ensuite, nous supposons de plus que la carte$t \mapsto X_t$ est continu $P$-comme

Dans ce cas, pouvons-nous montrer que $\lim_{n \to \infty }X_{t_n}=0$ $P$-comme?

Je pense que c'est une affirmation correcte. Connaissez-vous la preuve?

Answer 1

Pas vrai. Laisser$(Y_n)$être une séquence qui converge en probabilité mais pas presque sûrement. Laisser$X_t =Y_n$ quand $t=\frac 1 n$ et laissez $X_t$ avoir un graphe linéaire dans $[\frac 1 {n+1},\frac 1 n]$ pour chaque $n$. Puisque$|X_t| \leq \max \{|X_{\frac 1 {n+1}}|,|X_{\frac 1 n}|\}$ on voit ça $X_t \to 0$en probabilité. Prendre$t_n=\frac 1 n$. ensuite$X_{t_n}\equiv Y_n$ n'est pas presque sûrement convenable.