Comment calculer la période de ce pendule

Question

J'ai un pendule avec les propriétés suivantes:

1. Le diamètre de la sphère est de 1 mètre.
2. La sphère du pendule est en titane pur.
3. Le pendule est relié au toit par une corde rigide de 12 mètres de long. Il n'a pas de masse. L'union entre la corde et la sphère est rigide, elle ne peut donc pas tourner.
4. L'angle d'oscillation est de 60 degrés par rapport à la verticale.

Nous supposons qu'il n'y a pas d'air, donc pas de friction.

Avec ces données, j'ai besoin de connaître la période de ce pendule. Je n'ai pas travaillé avec des balanciers donc je ne sais pas par où commencer. Un indice / guide?

Je sais qu'avec 1. et 2. nous pouvons obtenir la masse du pendule, en utilisant la densité du Titane, $d_{titanium}=4506\;kg/m^3$. Le volume de la sphère est$V=\frac{4}{3}\pi$, donc la masse est $m=d\cdot V=4506\cdot\frac{4}{3}\pi=6803\pi$.

Answer 1

Supposons que l'accélération gravitationnelle $g$est connu. Vous n'avez pas spécifié où la chaîne est connectée à la sphère (centre ou un point sur la surface). J'utiliserai le centre. Si c'est à la surface, tout ce que vous avez à faire est de changer la distance au centre en ajoutant la moitié du diamètre. Le moment d'inertie de la sphère par rapport au centre de la masse est$$I_{CM}=\frac 25 MR^2$$ Par rapport au point du toit autour duquel il oscille, il est $$I=I_{CM}+ML^2=M\left(\frac25 R^2+L^2\right)$$ Si tu veux, tu peux dire ça $R^2\ll L^2$. Dans ce cas, le problème ne dépendra pas du rayon de la sphère.

Puis en utilisant le zéro de l'énergie potentielle à $\theta=0$, où $\theta$ est mesuré à partir de l'axe vertical, vous avez $$MgL(1-\cos\theta)+\frac12I\dot\theta^2=MgL(1-\cos\theta)+\frac12M\left(\frac25 R^2+L^2\right)\dot\theta^2=MgL(1-\cos\theta_0)$$ $\theta_0$ est l'angle initial de $60^\circ$. Calculateur$\dot\theta$ d'ici, vous obtenez $$\dot\theta=\sqrt{\frac{2gL}{\frac25 R^2+L^2}(\cos\theta-\cos\theta_0)}$$ En utilisant $\dot\theta=\frac{d\theta}{dt}$, vous recevez $dt=\frac{d\theta}{\dot\theta}$. Pour avoir la période$$T=2\int_{-\theta_0}^{\theta_0}\frac{d\theta}{\dot\theta}=2\sqrt{\frac{L^2+\frac25R^2}{2Lg}}\int_{-\theta_0}^{\theta_0}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}$$