Comment décrivez-vous une surface Riemann?

Question

je regarde $f(z)=(z-1)^{1/3}.$ J'ai trouvé les points de branchement et je sais qu'il doit y avoir une coupe de branche touchant chacun des points de branchement, mais ces coupes de branche peuvent être prises de différentes manières.

Je ne comprends pas comment «décrire» formellement la surface de Riemann ou définir les coupes de branche. Est-ce que je dessine visuellement mes coupes de branche et cette interprétation de la surface de Riemann, ou y a-t-il un moyen de l'écrire formellement?

J'apprécierais également toutes les références que vous pouvez recommander sur le sujet.

Answer 1

Je doute que vous aimiez cela, mais voilà.

Votre surface Riemann est une couverture triple ramifiée de la sphère Riemann $\Bbb C_\infty$ avec trois points de branchement $1$, $\omega$, $\omega^2$. La suppression de ceux-ci donne une triple couverture de la sphère de Riemann perforée trois fois$X=\Bbb C_\infty-\{1,\omega,\omega^2\}$. Choisissez un point de base$a\in X$. Revêtements de$X$ correspondent à des sous-groupes du groupe fondamental $G=\pi_1(X,a)$. Un triple recouvrement correspondra à un index$3$ sous-groupe $H$ de $G$.

Comment pouvons-nous décrire $H$? Pour$n\ge2$ a le groupe fondamental d'un $n$-la sphère perforée est libre sur $n-1$générateurs. Ici, nous pouvons prendre deux générateurs pour$G$, de manière informelle, il peut s'agir de boucles basées sur $a$"encerclant" deux des points de branchement. Appelez ces$g_1$ et $g_2$. Comment pouvons-nous définir$H$? Comme$H$ a un index $3$, $H$ est un stabilisateur ponctuel de l'action de $G$ sur les cosets de $G$. Donc pour un homomorphisme adapté$\phi:G\to S_3$, avec image transitive, $H$ est l'image inverse d'un stabilisateur de point dans $S_3$.

Nous avons $g_1$ et $g_2$ générateur $G$. Qu'est-ce que$\phi(g_1)$ et $\phi(g_2)$représenter? Imaginez bien voyager autour de la boucle correspondant à$g_1$sur la surface de Riemann. Vous ne pouvez pas vous retrouver sur la feuille avec laquelle vous avez commencé. Traverser$g_1$ induit alors une permutation des feuilles de la surface de Riemann au voisinage de $a$. C'est la permutation correspondant à$\phi(g_1)$.

Un livre accessible sur les surfaces de Riemann est celui de Jones et Singerman .