Comment interpréter cette limite q-binomiale

Question

Dans le cours Cousera sur la combinatoire énumérative, le conférencier affirme:

$\lim_{m\to\infty} \begin{bmatrix} m+n\\ n \end{bmatrix}_q = \lim_{m\to\infty}\frac{(1-q^{m+1})\cdot(1-q^{m+2})\cdots(1-q^{m+n})}{(1-q)\cdot(1-q^2)\cdots(1-q^n)} = \frac{1}{(1-q)\cdot(1-q^2)\cdots(1-q^n)}$.

Maintenant clairement dans un sens d'analyse conventionnel, c'est bien pour $|q|<1$, mais nous avons affaire ici à des séries de puissances formelles, et le résultat est censé être valable pour la variable formelle $q$. En effet, le côté gauche peut être considéré comme la fonction génératrice pour les diagrammes Young s'insérant dans un rectangle de largeur$n$ et une hauteur infinie qui s'accorde avec le côté droit, qui est la fonction génératrice pour les partitions en un maximum de $n$ sommations.

Ma question est la suivante: comment pouvons-nous comprendre cette limite?

Answer 1

$\left(1-q^{m+1}\right)\cdot\left(1-q^{m+2}\right)\cdots\left(1-q^{m+n}\right) = 1 -q^mP(q),\text{ with } P\in\mathbb{Z}[q]$ donc la limite est $1$ pour le $q$-topologie adique de $\mathbb{Z}[[q]]$

Answer 2

Pour les séries de puissance, l'expression $\lim_{n\to\infty} f_n(q)=f(q)$ signifie que, pour tous $k\in \mathbb N$, il existe un $N\in \mathbb N$ de sorte que $$ n\ge N\implies [q^k]f_n(q)=[q^k]f(q) $$ En mots, pour chacun $k$, le coefficient de $q^k$ dans $f_n(q)$ doit finalement correspondre au coefficient de $q^k$ dans $f(q)$. Puisque$$ {n+m \brack n}_q=\frac{1-q^{m+1}+(\text{higher powers of }q)}{(1-q)\cdots(1-q^n)} $$ il s'ensuit que le premier $m$ coefficients de ${n+m \brack n}_q$ sera d'accord avec celui de $\frac1{(1-q)\cdots(1-q^n)}$.