Comment interpréter la structure de bande de $\rm Si$?
J'ai trouvé très instructif de voir comment le $E$-$k$ La relation d'une particule libre peut être grossièrement identifiée à partir de la structure de bande étendue d'un solide: Ce qui suit est le résultat du modèle unidimensionnel de Kronig – Penney.
Pour les trois dimensions, les choses se compliquent. Jetons un coup d'oeil sur Si:
En ne prenant que les 100 directions et en assemblant les tranches, j'arrive à ce schéma de zone "étendu":
Les branches rouges et bleues sont ce que j'attends de l'image unidimensionnelle. Mais, pour donner un exemple, d'où vient la branche jaune? Cela ne correspond pas à l'image «simple».
J'ai toujours pensé qu'il y avait une relation k (E) unique pour chaque zone Brillouin et que les branches rouge, bleue et verte provenaient respectivement de la première, deuxième et troisième zone.
Maintenant, je vois que mon image ne peut pas être complètement vraie, car la branche jaune ne rentre pas dans mon modèle à l'esprit. La branche jaune peut-elle être attribuée à une zone particulière ou mon idée d'une relation un-à-un Branch <--> Zone n'est pas du tout raisonnable?
Réponses
Premièrement, il n'est pas correct d'appeler la première zone de Brillouin décalée (comme dans le schéma des zones étendues) "seconde" BZ. Les zones Brillouin d'ordre supérieur sont toujours$\Gamma$-centré, la forme devenant plus compliquée à mesure que l'ordre des zones augmente. Voir par exemple les images ici .
Ensuite, votre structure de bande unidimensionnelle vous trompe, vous faisant oublier qu'en 2 dimensions la structure de bande aura des branches supplémentaires pour la dimension ajoutée. Par exemple, pour la relation de dispersion d'électrons libres 1D
$$E_n(k)=\left(k+\frac{2\pi}a n\right)^2$$
nous avons le diagramme de bande suivant:
Mais si nous considérons maintenant la relation de dispersion 2D pour un électron dans un réseau carré,
$$E_{n_x,n_y}(k_x,k_y)=\left(k_x+\frac{2\pi}a n_x\right)^2+\left(k_y+\frac{2\pi}a n_y\right)^2,$$
nous obtiendrons le graphique suivant, considérablement plus compliqué:
Vous pouvez maintenant voir la même situation pour le réseau Si: il suffit de tracer les bandes de réseau vide pour obtenir le graphique suivant sur le LHS (courbes rouges), et de les comparer avec les bandes Si réelles sur le RHS (courbes noires):
Les branches rouges et bleues sont ce que j'attends de l'image unidimensionnelle. Mais, pour donner un exemple, d'où vient la branche jaune? Cela ne correspond pas à l'image «simple».
Il est plus facile de commencer avec des structures de bandes de phonons. Avec deux atomes par maille unitaire dans une dimension, on obtient alors des branches optiques qui ressemblent à celles que vous avez marquées en jaune.
Le silicium a deux atomes par maille élémentaire primitive. Une structure de bande doit également prendre en compte différentes fonctions d'onde. L'approximation à liaison serrée est un meilleur point de départ et il faut alors considérer différentes orbitales atomiques, pas seulement$2p$. Le sodium a une structure de bande qui est plus facile à comprendre dans un modèle électronique presque libre avec un atome par maille élémentaire primitive.