Comment les tests de mathématiques devraient-ils être conçus? [fermé]

Question

Je parle des mathématiques du secondaire. Les étudiants ont suivi un cours de mathématiques. À la fin de celui-ci, les étudiants sont censés être capables de:

1. trouver la limite d'une fonction réelle f lorsque «x» s'approche d'un «a» donné et écrire les équations des asymptotes verticales, horizontales et obliques à la courbe de la fonction (mais pas les asymptotes courbes)
2. utiliser le théorème de compression pour trouver des limites
3. trouver la dérivée d'une fonction réelle et déduire si la fonction est monotone ou non (selon le signe de la dérivée)
4. écrire l'équation de la droite tangente à une courbe en un point donné
5. déterminer le nombre de solutions à une équation de la forme f (x) = m (m est un nombre réel) en utilisant le théorème de la valeur moyenne
6. déterminer si une fonction réelle est continue ou non en un point donné
7. dessiner la courbe d'une fonction donnée dans un système orthogonal
8. décider si une séquence est monotone ou non
9. décider si une séquence est une séquence arithmétique, géométrique ou aucune
10. calculer la limite d'une suite récursive (de la forme un + 1 = f (un))
11. décider si deux séquences sont adjacentes ou non

• Les élèves sont familiarisés avec les fonctions suivantes: la fonction racine carrée, la fonction de valeur absolue, les fonctions exponentielles et logarithmiques, les fonctions polynomiales et les fonctions trigonométriques

1. décider si trois vecteurs sont coplanaires ou non

2. calculer le produit scalaire de deux vecteurs

3. écrire une équation cartésienne d'un plan, d'une sphère, d'un cône et d'un cylindre

4. écrire une équation paramétrique d'une ligne droite, d'une demi-ligne, d'un segment de ligne

5. trouver le barycentre de n points pondérés

6. résoudre un système de trois équations linéaires

7. écrire les formes algébriques, rectangulaires et exponentielles d'un nombre complexe

8. résoudre une équation du deuxième degré avec des variables complexes et / ou des coefficients

9. décrire chacune de ces transformations géométriques (rotation, homothétie et translation) à l'aide de nombres complexes

• Ce ne sont PAS toutes les compétences que les étudiants doivent avoir développées tout au long du cours.

Une fois le cours terminé et que les étudiants ont maîtrisé les compétences ci-dessus, ils sont censés passer un test de 3 heures qui est «l'examen final pour l'ensemble du cours».

La question est: comment le test est-il censé être conçu?

Les problèmes à partir desquels le test est composé, doivent-ils être des problèmes courants, typiques qui imitent ceux des manuels des élèves? Ou des nouvelles qui nécessitent beaucoup de réflexion et d'imagination, mais qui nécessitent les mêmes connaissances fournies par le manuel des élèves?

Certains élèves qui sont précis et ne font pas d '«erreur arithmétique» n'auraient aucune difficulté à résoudre les problèmes de routine auxquels ils sont habitués, tels que

1. Étant donné une fonction f définie sur un ensemble I: les élèves trouveraient les limites de la fonction, la dérivée de celle-ci, détermineraient le nombre de solutions à l'équation f (x) = 0, traceraient le graphe de la fonction dans un système orthogonal
2. Étant donné deux nombres complexes, les élèves écriraient les deux nombres sous la forme exponentielle, trouveraient à la fois la forme exponentielle et algébrique de leur produit, en déduiraient les rapports trigonométriques d'un angle (très probablement, l'argument du produit) Etc.

Cependant, quel avantage un tel test a-t-il apporté? Le test reflétait-il suffisamment la pensée mathématique des élèves qui l'ont passé?

Serait-il raisonnable que, par exemple, sur 100 étudiants, 10 étudiants obtiennent une note parfaite? Est-il possible qu'il existe 10 «génies» mathématiques dans un groupe de 100?

J'espère que la question est devenue plus claire après cette modification.Si ce n'est toujours pas clair, veuillez le notifier dans les commentaires.

Veuillez noter que le test n'est PAS un test à choix multiples.

Answer 1

"Les problèmes à partir desquels le test est composé, doivent-ils être des problèmes routiniers, typiques qui imitent ceux des manuels des élèves? Ou de nouveaux problèmes qui nécessitent beaucoup de réflexion et d'imagination, mais qui nécessitent les mêmes connaissances fournies par le texte?"

Je recommande d'aller avec les questions «de routine». (Faire peur aux citations intentionnelles!) (1) Ne sous-estimez pas la difficulté de la «routine» pour de nombreux élèves. (1.5) SURTOUT dans les conditions d'essai. (2.) Vous couvrez beaucoup de matériel et certains d'entre eux dateront de plusieurs mois. (3.) Les questions de routine ont une valeur. (4.) Séparer les étoiles (petite minorité) de la moyenne supérieure (plus grande quantité, mais toujours minoritaire) ne devrait pas remplacer l'objectif de mesurer les compétences de base pour la majorité des enfants. (4.5) Et vous l'aurez quand même, car dans un test de 3 heures, il y a de la place pour les trébuchements. Ce ne sera pas si basique que les 3 premiers sur 30 ne peuvent pas être différenciés des 6 suivants. Ils se sépareront. Regardez la littérature sur la psychrométrie. Regardez les tests "faciles" comme SAT-M.

En fait, il y a un réel danger à exécuter acrux si vos questions sont trop délicates et non routinières. Vous testez essentiellement la résolution de problèmes plus que la maîtrise du programme et même les astucieux peuvent avoir de la malchance à trouver un truc d'Euler ou autre dans des conditions d'examen. Je pense qu'un test de routine de 20 questions (une par objectif) conviendra.

Oh ... et beaucoup de ces objectifs sont assez conceptuels. Je ne suis pas sûr d'être d'accord avec autant de stress là-dessus. Il est important d'avoir des enfants qui peuvent faire des manipulations pour soutenir ce dont ils auront besoin dans les devoirs de physique et d'ingénierie. Ce n'est pas terrible et il y a des objectifs tactiques. Et peut-être que c'est juste écrit de cette façon pour avoir l'air sophistiqué et que les questions sont plus reconnaissables. Pas une forte objection, juste un peu de cheveux sur mon cou. ;-)

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Il est intéressant de regarder votre question MSE, où vous demandez de faire des erreurs stupides.

https://math.stackexchange.com/questions/3796357/how-can-i-prevent-silly-frustrating-mistakes-while-solving-math-problems

C'est une chose si vous voulez juste des questions difficiles. Mais des questions difficiles (accentuation du concept) lorsque vous ne maîtrisez pas les bases? Désolé, c'est un gros problème. Vous BESOIN d'avoir l'automaticité des bases si vous allez faire des mathématiques avancées, de la physique ou de l'ingénierie (même des devoirs décents de premier cycle, en particulier l'année junior, sans parler de la recherche).

Regardez les gymnastes de niveau olympique (j'ai travaillé avec certains à l'époque). Ils ont passé leur temps à travailler sur des compétences très difficiles de niveau D et plus (double dos à torsion complète et autres). N'oubliez pas de demander à quelqu'un comment progresser et il m'a dit ... vous devez être solide sur vos bases ... vous n'avez pas de poirier de 30 secondes, vous n'avez pas de bons cercles à cheval et votre backhandspring n'a pas de distance .

Le film The Karate Kid est une exagération de ce concept, mais c'est vraiment vrai dans le spirt des arts martiaux. Eh bien, au moins la boxe. Vous devez avoir une position et une protection de base, etc. Et jab, jab, jab. Ouais, vous voudrez ces combinaisons fantaisistes. Mais apprends à piquer, bébé. Cela vous gardera en sécurité.

Voici ce que Richard Feynman a conseillé aux étudiants de CALTECH en matière de mathématiques (section 1-3 de Feynman Lectures Physics):

Alors, ce type vient dans mon bureau et me demande d'essayer de tout remettre en ordre, et c'est le mieux que je puisse faire. Le problème est d'essayer d'expliquer ce qui était enseigné. Je commence donc maintenant par l'examen. Je dirais à ce type: «La première chose que vous devez apprendre, ce sont les mathématiques. Et cela implique, d'abord, le calcul. Et en calcul, différenciation. "

Maintenant, les mathématiques sont un beau sujet, et ont aussi leurs tenants et aboutissants, mais nous essayons de déterminer quel est le montant minimum que nous devons apprendre à des fins de physique. Donc, l'attitude qui est prise ici est «irrespectueuse» envers les mathématiques, par simple efficacité; Je n'essaye pas d'annuler les mathématiques.

Ce que nous devons faire, c'est apprendre à différencier comme si nous savons combien vaut 3 et 5, ou combien vaut 5 fois 7, car ce genre de travail est si souvent impliqué qu'il est bon de ne pas être confondu. Lorsque vous écrivez quelque chose, vous devriez être en mesure de le différencier immédiatement sans même y penser et sans faire d'erreur. Vous constaterez que vous devez effectuer cette opération tout le temps, non seulement en physique, mais dans toutes les sciences. Par conséquent, la différenciation est comme l'arithmétique que vous avez dû apprendre avant de pouvoir apprendre l'algèbre.

Incidemment, il en va de même pour l'algèbre: il y a beaucoup d'algèbre. Nous supposons que vous pouvez faire de l'algèbre dans votre sommeil, à l'envers, sans vous tromper. Nous savons que ce n'est pas vrai, vous devriez donc aussi pratiquer l'algèbre: écrivez-vous beaucoup d'expressions, pratiquez-les et ne faites aucune erreur. Les erreurs d'algèbre, de différenciation et d'intégration ne sont que des absurdités; ce sont des choses qui agacent la physique et agacent votre esprit pendant que vous essayez d'analyser quelque chose. Vous devriez être en mesure de faire des calculs le plus rapidement possible et avec un minimum d'erreurs. Cela ne nécessite rien d'autre que de la pratique par cœur - c'est la seule façon de le faire. C'est comme vous fabriquer une table de multiplication, comme vous l'avez fait à l'école primaire: ils mettaient un tas de nombres au tableau, et vous diriez: «Cette fois ça, cette fois ça», et ainsi de suite - Bing! Bing! Bing!

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Je dirais même que vous pouvez utiliser certains des problèmes avancés comme une OPPORTUNITÉ pour perfectionner vos compétences de «routine» rouillées. Par exemple, si vous faites un problème de maximisation (pas le plus difficile du point de vue conceptuel, mais toujours un peu non routinier dans la mesure où il est à plusieurs étapes et peut être un «problème de mots») et que vous avez la méthode en panne, mais gâcher un calcul. Maintenant, lorsque vous vérifiez votre réponse et que vous reconnaissez l'erreur, NE dites PAS simplement non et passez à autre chose. Au lieu de cela, mettez la solution (ou la réponse) de côté et recommencez le problème à partir de zéro comme s'il était nouveau. Cela vous incitera rapidement à ne PAS commettre autant d'erreurs et vous donnera plus de pratique à la fois dans la méthode et les manipulations. Et cela aura tendance à améliorer votre vitesse de test.