Comment montrer que l'ODE est séparable

Question

J'ai un ODE: $$xy'= y+2x^3 \sin\big(\frac{y}{x}\big)^2.$$Je dois montrer que c'est séparable. J'ai introduit une fonction u = y/x. Ensuite, en utilisant DivideSideset Simplifyj'ai obtenu l'équation suivante:$$(ux)'= u+2x^2 \sin\big(\frac{y}{x}\big)^2.$$

Maintenant, je dois utiliser la règle du produit pour le côté gauche de l'équation et obtenir une forme d'ODE séparable. Comment puis je faire ça?

Answer 1

Pourquoi pas

1. Remplacer $u=y/x$ par programmation:

   x y'[x] == y[x] + 2 x^3*Sin[y[x]/x]^2 /. y -> Function[x, u[x] x] // FullSimplify
   

$$2 x^2 \sin ^2(u(x))=x u'(x)$$

1. Exprimez la dérivée dans la notation de Leibniz (vous pouvez sélectionner la sortie et appuyer sur Ctrl+ Shift+ Tpour transformer en jolie TraditionalForm):

   % /. {u[x] -> u, u'[x] -> Dt[u]/Dt[x]}
   

$$2 x^2 \sin ^2(u)=\frac{x du}{dx}$$

1. Multipliez les deux côtés:

    MultiplySides[%, Dt[x]/x/Sin[u]^2, Assumptions -> Dt[x]/x/Sin[u]^2 != 0]
   

$$2 x dx=\csc ^2(u)du$$