Comment procéder pour ce problème de probabilité?

Question

La question est la suivante: dans un examen d'entrée avec questions à choix multiples, chaque question ayant quatre options et une seule bonne réponse, supposons que seulement 20% des candidats pensent connaître la réponse à une question difficile et que seulement la moitié la connaissent correctement et la l'autre moitié se trompe. Les candidats restants choisissent une option parmi les quatre au hasard et cochent la même chose. Si une candidate a correctement répondu à la question, quelle est la probabilité (conditionnelle) qu'elle connaisse la réponse?

Edit: Let $K$ être le cas où un candidat connaît la réponse (correctement ou non), et $R$ est l'événement où un candidat répond à la question au hasard.

Donc, $P(K) = 0.2$, $P(R) = 0.8$.

Laisser $C$ être le cas où un candidat répond correctement à la question.

Nous voulons trouver $P(K|C)$.

Par le théorème de Bayes, $P(K|C) = \frac{P(K).P(C|K)}{P(K).P(C|K) + P(R).P(C|R)}$

On a $P(C|K) = 0.1$ et $P(C|R) = 0.25$.

En remplaçant, $P(K|C) = \frac{1}{11}$ Est-ce correct?

Edit # 2: C'est faux. Mon erreur a été d'interpréter le fait que la moitié des 20% de candidats connaissant correctement la réponse signifiait que 10% de tous les candidats la connaissaient correctement. Au lieu de cela, cela signifie que la probabilité que l'un de ces 20% de candidats connaisse la réponse est de 0,5. Donc$P(C|K) = 0.5$ et pas $0.1$

Answer 1

Laisser $C$ être l'événement de répondre correctement à la question, $K$ être l'événement de connaître la réponse, et $NK$ être l'événement de ne pas connaître la réponse.

Nous avons besoin $P(K|C)$, cela peut se produire de deux manières, soit elle connaissait la réponse, soit elle ne l'a pas fait. Maintenant, la réponse peut être connue de deux manières, correctement ou incorrectement. (Ici, elle savait que la réponse signifie qu'elle pensait connaître la réponse)

Par le théorème de Bayes: $$P(K|C)=\dfrac{P(K)\cdot P(C|K)}{P(C)}$$

Également $P(C)=P(K).P(C|K)+P(NK).P(C|NK)$ $$P(C)=(0.2)(0.5)+(0.8)(0.25)=0.3$$ parce que si elle connaissait la réponse, alors elle la savait soit correcte, soit incorrecte, la probabilité que les deux soient $0.5$, alors que si elle devinait, alors elle avait un $0.25$ probabilité de répondre correctement à la question.

$$\therefore P(K|C)=\dfrac{0.1}{0.3}=0.33$$

Answer 2

10% des candidats donnent la mauvaise réponse

10% des candidats donnent la bonne réponse (ils connaissaient la réponse)

80% des candidats donnent la bonne réponse avec probabilité $0.25$ (ils ont bien deviné)

Ainsi, la bonne réponse est donnée par $0.8\times0.25+0.1$

En appliquant le théorème de Bayes, vous obtenez

$$\frac{0.1}{0.8\times0.25+0.1}=\frac{1}{3}$$