Comment utiliser la version étendue du théorème de Weierstrass?

Question

Après ma question Question pour la fonction$f(x)=\log\left(\frac{x^2}{x-2}\right)$, J'ai obtenu une très bonne réponse et je me souviens que je n'ai jamais étudié ce théorème pendant mon séjour à mon université (1993) " version étendue du théorème de Weierstrass" . De toute évidence, il existe plusieurs pages sur Internet qui traitent de la preuve du théorème. Je voudrais bien comprendre les hypothèses et quand et comment appliquer le théorème dans des cas pratiques notamment pour les élèves d'un lycée .

J'ai vu que sont utilisées les séquences et les limites minimum et maximum ($\lim \sup$, $\lim \min$) et je ne me souviens pas de leur utilisation et de la signification de ces concepts.

Answer 1

La généralisation d' EVT , dans sa version la plus simple, n'est pas un théorème particulier mais une méthode qui a pour but d'étendre le résultat, pour des fonctions continues, lorsque l'hypotesis pour un domaine fermé ne parvient pas à être vraie.

Dans ce cas particulier, nous avons affaire à une fonction continue définie sur un intervalle ouvert $(a,b)$ et tel que

$$\lim_{x\to a^+} f(x)=\lim_{x\to b^-} f(x)=\infty$$

Dans de telles conditions, nous pouvons étendre EVT pour prouver que la fonction donnée doit avoir un minimum absolu. Correction d'une limite supérieure appropriée$M$, le point clé est de montrer par IVT qu'un intervalle fermé $[c,d]\subseteq(a,b)$ existe de telle sorte que

$$f(c)\le M \, \land \, f(d)\le M $$

par conséquent $f: [c,d]\to \mathbb R$ complète l'hypotesis pour EVT et donc un minimum absolu existe également pour la fonction d'origine.