Conception de filtre Kalman
Je suis nouveau dans la conception de filtres Kalman et j'ai du mal à comprendre comment appliquer la méthodologie de filtre Kalman à mon problème. J'ai lu un article de recherche qui semble décrire ce que j'essaie de fairehttps://journals.sagepub.com/doi/pdf/10.5772/57516. L'article décrit des expériences dans lesquelles les données collectées consistent en une mesure bruyante associée à une mesure de vérité. Dans l'article, les matrices de filtre de Kalman sont désignées comme suit:
$$\boldsymbol{X}=\begin{bmatrix} b_{x} &P_{11} &P_{12} &P_{13} \end{bmatrix}^{T}$$
$$\boldsymbol{H}=\begin{bmatrix} 1 &r &0 &0\\ 1 &-r &0 &0\\ 1 &r/\sqrt{2} &r/\sqrt{2} &0\\ 1 &r/\sqrt{2} &0 &r/\sqrt{2}\\ \end{bmatrix}$$
$$\boldsymbol{\Phi} = \boldsymbol{I}_{4\times4}$$
Le vecteur d'état décrit les états de biais et de facteur d'échelle. Bien que je ne sois pas tout à fait sûr de savoir comment la matrice H a été dérivée, je ne peux pas comprendre comment le filtre serait utilisé avec des données réelles, c'est-à-dire que la mesure observée remplace les éléments r dans la matrice H, mais la vérité terrain sur laquelle cela doit être calibré ou comparé à une valeur unique, c'est-à-dire que nous connaissons le taux réel ou l'accélération réelle, nous ne connaissons pas le vrai biais et les états des facteurs d'échelle. Comment alors le filtre inclut-il cette vérité terrain que je suppose qu'il utilise pour mettre à jour son estimation des termes de biais et de facteur d'échelle. Quelqu'un pourrait-il nous éclairer sur la façon dont le filtre de Kalman est disposé pour permettre à l'estimation d'utiliser cet appariement de mesure et de vérité terrain?
Réponses
Les mesures ne sont pas insérées dans $H$. le$H$matrice est la "matrice de mesure" ou "matrice de sortie" telle que vous obtenez une estimation de la sortie lorsque vous multipliez$H$ par votre estimation vectorielle d'état $\hat{X}$. Vous pouvez le voir dans l'équation (23) dans l'article que vous avez lié, à la page 7 du document:
Le modèle peut être exprimé comme suit:
$$ X_{i+1} = \Phi X_i + w_i \\ Z_{i+1} = HX_{i+1} + \epsilon_{i+1} \\ $$
L'action du filtre de Kalman se produit dans l'équation (25), lorsque le gain de Kalman $K_i$est appliqué à l'erreur de mesure ou «résiduelle». L'erreur de mesure est la différence entre ce que vous avez réellement vu, le vecteur de mesure$Z_i$, et ce que vous vous attendiez à voir, qui est la matrice de sortie $H_i$ fois l'état prédit $\hat{X}_{i|i-1}$.
Le filtre de Kalman prend ce résidu modifié et l'ajoute à l'état prédit pour obtenir l'état «corrigé» ou filtré. Tout se passe comme une équation dans (25):
$$ \hat{X}_i = \hat{X}_{i|i-1} + K_i\left(Z_i - H_i\hat{X}_{i|i-1}\right) \\ $$
Où encore le $\hat{X}_{i|i-1}$ terme signifie "étant donné mon état antérieur $i-1$, que dit le modèle de mon état à $i$ devrait être? "Réécrivez-le à partir de l'équation précédente:
$$ X_{i+1} = \Phi X_i + w_i \\ $$
ou alors
$$ X_{i|i-1} = \Phi X_{i-1} \\ $$
ou alors
$$ X_{i|i-1} = (I + A\Delta t)X_{i-1} + B\Delta t u \\ $$
qui est juste une intégration numérique de
$$ \dot{x} = Ax + Bu \\ $$
tel que
$$ x_i = x_{i-1} + \dot{x} \Delta t\\ x_i = x_{i-1} + (Ax_{i-1} + Bu)\Delta t \\ x_i = x_{i-1} + A\Delta t x_{i-1} + B \Delta t u\\ x_i = (I + A\Delta t) x_{i-1} + B\Delta t u \\ $$
J'espère que cela a plus de sens!