Considérez le groupe $\mathbb{Z}_{20}$

Question

Considérez le groupe $\mathbb{Z}_{20}$ et laissez $H = \langle [4]\rangle $ être le sous-groupe généré par $4$. Listez tous les éléments de$\mathbb{Z}_{20}/H$ et montrer que le quotient est cyclique.

Je pense que je ne comprends tout simplement pas la terminologie ici. je le sais$\mathbb{Z}_{20}/H$ représente juste les cosets gauches de $H$, mais depuis $H = \langle [4]\rangle$ est le sous-groupe généré par $4$, Qu'est-ce que cela signifie exactement?

Je comprends comment montrer que le quotient est cyclique aussi, voici ma tentative:

S'il y a un élément $a \in G$ tel que $\langle a\rangle = G$, on dit que G est un groupe cyclique. Cependant, je ne pense pas que nous en ayons nécessairement besoin ici. Dès la première partie de cette question, si l'ordre est premier, alors par le théorème des lagranges, ou plutôt un théorème de mon livre, nous avons que$\mathbb{Z}_{20}/H$ est cyclique et nous avons terminé.

Answer 1

Toute image homomorphe d'un groupe cyclique est cyclique. Vous pouvez donc comprendre que le quotient est cyclique en considérant la projection canonique.

Les éléments du quotient sont les classes d'équivalence des éléments de $\Bbb Z_{20}$ qui diffèrent par des multiples de $4$.

Puisqu'il y a cinq éléments dans $\langle 4\rangle$, le quotient a de l'ordre $4$.

Answer 2

Vous pouvez comprendre un quotient de plusieurs façons, la plus géométrique (dans le cas des groupes généraux) serait comme un effondrement du groupe correspondant dans le graphe de Cayley, mais pour revenir à un côté plus algébrique: Ici, $[4]$ est ce qu'on appelle un sous-groupe normal, c'est-à-dire que ses cosets de gauche sont les mêmes que ceux de droite, donc $G/H$est juste l'ensemble des cosets de$H$. Les cosets d'un sous-groupe$H$ sont les classes d'équivalence définies par $a \sim b \equiv aH = \{ ah | h \in H\} = bH$. Lorsque vous quotient par ce sous-groupe, vous prenez l'ensemble de tous ces cosets et lui donnez le produit naturel$gHfH = gfH$pour en faire un groupe. Maintenant, intuitivement, vous voulez diviser votre groupe entre les façons dont votre sous-groupe peut être "traduit" ou déplacé dans votre groupe. Ici, vous voulez savoir comment les éléments de$\mathbb{Z}_{20}$ se comporter sous multiplication par $4$. Cependant, pour tous$g \in \mathbb{Z}_{20}$ vous avez clairement $(g + 4)H = gH$ donc vous faites "modulo 4" à l'intérieur $\mathbb{Z}_{20}$, C'est $\mathbb{Z}_{20}/H$ est l'ensemble des éléments de $\mathbb{Z}_{20}$ qui produisent différents sous-groupes lorsqu'ils sont multipliés par $[4]$. Vous devriez avoir une bonne idée de ce qu’ils sont avec la remarque précédente. Maintenant, pour montrer qu'il est cyclique, vous devez prouver qu'il est à nouveau isomorphe à un sous-groupe cyclique, ce qui sera facile une fois que vous aurez déduit ce que$\mathbb{Z}_{20}/H$ est.

Answer 3

Une façon est de simplement lister les éléments et de le faire à partir de zéro:

$\mathbb Z_{20}=\{[0]=(0,20,\cdots),\ [1]=(1,21,\cdots),\cdots, [18]=(18,38,\cdots \ ),\ [19]=(19,39,\cdots \ )\}.$

Et $[4]=(4,24,\cdots).$ Maintenant, $\mathbb Z$ est abélien, donc l'opération de groupe est une addition de coset.

Puis, depuis $[4]+[4]+[4]+[4]+[4]=[0]$ alors $\langle [4]\rangle$ cyclique d'ordre $5$.