Continuité uniforme VS Continuité.

Question

La fonction $f,g : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ satisfait le $(1)$ & $(2)$. Montrer$\exists \lim \limits_{x \to 0^+} f(x)$

$(1)$ $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x)$

$(2)$ $\forall a,b \in (0,\infty) $, $\vert f(b) - f(a) \vert \leq \vert g(b) - g(a)\vert $

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Voici ma tentative.

Dire $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x) = L$. ensuite$\exists \delta>0$ $s.t.$ $0 <x <\delta \Rightarrow \vert g(x) -L \vert < {\epsilon \over 2}$

Considérer $0 <x,y <\delta $ Ensuite, $\vert g(x)-g(y)\vert \leq \vert g(x)-L \vert + \vert g(y)-L \vert < \epsilon$

D'où par $(2)$, $\vert f(x) - f(y) \vert \leq \vert g(x) - g(y)\vert < \epsilon $.

J'ai conclu le $f$ est uniformément continue sur $(0, \delta)$. Donc,$\exists \lim \limits_{x \to 0^+} f(x)$

Mais dans mon groupe d'étude, mon collègue a souligné ce que je me suis trompé. Il a dit, "$\delta $ dépend de la $\epsilon$. Donc, ce n'est pas la définition de la continuité uniforme. »Et il a suggéré la définition de la continuité et de la continuité uniformément (ou des limites). Il a affirmé:« Lorsque le cas de continuité uniforme$\delta$ ne dépend pas de la $\epsilon$." basé sur $(4)$

$(3)$ Définition de la continuité sur $(a,b)$ : " $\forall \epsilon > 0,\; { \forall x,y\in (a,b)} \exists \delta>0 \;\; : \lvert x - y\rvert< \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert <\epsilon$"

$(4)$ Définition de la continuité uniforme sur $(a,b)$ : "$ \forall \epsilon > 0,\;{\exists \delta>0 \; \forall x,y\in (a,b)} \; : \lvert x - y\rvert< \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert <\epsilon$"

Contrairement à sa pensée, une grande partie de l'exercice du manuel, premier cas lié à la $(3)$(ou la preuve de l'existence des limites) On trouve généralement $\delta = \delta(x,\epsilon)$ en fonction des deux variables $x$ et $\epsilon$(Lorsque le cas limite $0 < \vert x -y \vert < \delta $). De plus, le cas lié à la$(4)$, Nous trouvons généralement le $\delta =\delta(\epsilon)$ en fonction du $\epsilon$. Pour clarifier ma question, permettez-moi de prendre un exemple simple.

$e.g.)$ Montrer $f(x) = x^2$ est uniformément continue sur $D = [0,2]$

Lorsque nous prenons le $\delta= {\epsilon \over 4}$, Ensuite, $\exists \delta= {\epsilon \over 4}$ $s.t.$ $\vert x-y \vert < \delta$ $\Rightarrow$ $\vert f (x) -f(y) \vert = \vert x-y \vert \vert x+y \vert < {\epsilon \over 4}$.

Donc, à mon avis, le $\delta$ devrait dépendre de la $\epsilon$considérant la définition de la continuité uniforme. Dans ma pensée, je ne peux pas comprendre totalement l'affirmation de mon collègue et à quel point je me suis trompé.

S'il vous plaît, aidez-moi à trouver mon erreur dans ma solution. De plus, sa demande est-elle juste? Et pourquoi ça tient?

Merci.

Answer 1

Vous dites

Dire $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x) = L$. ensuite$\exists \delta>0$ $s.t.$ $0 <x <\delta \Rightarrow \vert g(x) -L \vert < {\epsilon \over 2}$

Mais tu n'as pas défini comment $\epsilon$est ramassé. Votre collègue a raison. implicitement, vous avez sélectionné$\epsilon$. Il serait préférable de le dire explicitement: car$\epsilon >0$...

Ensuite, comme votre collègue l'a mentionné, le $\delta$ défini ci-dessus dépend de la $\epsilon$. Donc, à la fin, vous n'avez pas prouvé une continuité uniforme. Vous venez de prouver que pour un$\epsilon$ que vous sélectionnez, vous avez un intervalle $(0,\delta_\epsilon)$ pour lequel tu as $$\vert f(x) - f(y) \vert \leq \vert g(x) - g(y)\vert < \epsilon $$ pour $x,y \in (0,\delta_\epsilon)$.

Le problème est que comme $\epsilon$ diminue, $\delta_\epsilon$peut également diminuer. Au final, les inégalités ne seront valables que pour tous$\epsilon$ dans un intervalle vide ... qui n'a pas d'intérêt.

Answer 2

Vous devez choisir un ϵ au préalable. Soit ϵ> 0, alors seulement vous devez vous assurer que vous pouvez toujours trouver un δ pour lequel les inégalités sont valables. Vous avez raison dans le sens où δ devrait dépendre de ϵ, c'est implicite dans la définition de la continuité uniforme comme vous l'avez dit, la différence entre les deux continuités est le fait que δ ne dépend pas de votre choix de x, mais δ devrait dépendra certainement de ϵ. Il faut juste s'assurer que ϵ ne vient pas de nulle part et il est écrit d'avance que l'on choisit ϵ> 0, puis, une fois que la valeur de ϵ est fixée, si on peut toujours trouver le δ qui fonctionne, le la preuve devrait être bien. Mais il est très important que vous choisissiez ϵ avant tout, sinon tout s'effondre (cela vaut pour toute définition de la convergence en général)