Converge vers une autre limite

Question

Existe-t-il un espace métrique $(\mathbb{R}, d)$ tel que la séquence $\{\frac{1}{n}\}$ converge vers $3?$

Voici une séquence de réponses convergeant vers différentes limites

J'ai essayé ceci: laissez $A=\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\}, B=3+A$. Laissez également

$f(x)= \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} x & x\notin A\cup B \\ x+3 & x\in A \\ x-3 & x\in B \end{array} \end{array} $

et $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$. Ensuite, la séquence converge vers 3

Answer 1

Oui, c'est une construction réussie!

En général, si $(M,\delta)$ est un espace métrique et $f\colon \Bbb R\to M$ est une fonction injective, alors $d(x,y)=\delta(f(x),f(y))$ définit une métrique sur $\Bbb R$, appelé le "retrait" de $\delta$ à $\Bbb R$. (L'idée étant, il suffit de mesurer les distances "par ici" en voyant quelles sont les distances des images "là-bas".) Votre construction en est un cas particulier, avec$M =\Bbb R$ et $\delta$ étant la métrique habituelle sur $\Bbb R$.

(En effet, les retraits sont définis pour n'importe quel ensemble, pas seulement $\Bbb R$.)