Convergence de la séquence oscillante

Question

J'essayais de faire un problème pour préparer mon test Real Analysis mais je suis resté bloqué. Le problème indique ce qui suit:

Supposer que $x_{n} \geq 0$ pour tous $n \in \mathbb{N}$ et cela $\lim \left((-1)^{n} x_{n}\right)$ existe (Supposons $\lim \left((-1)^{n} x_{n}\right) = \alpha$). Montre CA$\left(x_{n}\right)$ converge.

Qu'ai-je essayé jusqu'à présent? Ma tentative la plus prometteuse s'est déroulée comme suit:

Définir $z_{n}:=(-1)^nx_{n}$ Nous savons déjà que $z_n \xrightarrow{\ } \alpha$. Si nous pouvons prouver que les deux sous-séquences$z_{2n}$ et $z_{2n - 1}$ convergent vers $\alpha$nous aurons fini. Pour cela, considérons la sous-séquence suivante:$$z_{2n} = (-1)^{2n}x_{2n} = x_{2n}$$ On peut dire ça $\lim x_{2n} = \alpha$ car $z_{2n} \xrightarrow{\ } \alpha$ comme chaque sous-séquence de $z_{n}$ devrait converger vers la même limite $\alpha$.

D'autre part, considérons la sous-séquence: $$z_{2n-1} = (-1)^{2n - 1}x_{2n-1} = -x_{2n - 1}$$ Nous savons que $\lim z_{2n-1} = \lim -x_{2n - 1} = -\lim x_{2n-1} = \alpha$. Donc,$\lim x_{2n-1} = -\alpha$.

Cependant, je voulais $$\lim x_{2n-1} = \alpha$$ pour $\alpha$plus grand que zéro afin de terminer la preuve, car alors les sous-séquences paires et impaires convergeraient vers la même limite. Quelqu'un peut-il m'aider à terminer cet exercice? Si cette idée ne peut être corrigée, quelqu'un peut-il suggérer une solution?

Merci d'avance!

Answer 1

Supposer $\{(-1)^n x_n\}$ est convergent vers $x>0$.

$\implies \forall\ \epsilon \ \exists\ N_0\ \forall n>N_0,\ |(-1)^n x_n-x|<\epsilon $ $\implies \forall n>N_0,\ x-\epsilon< (-1)^n x_n<x+\epsilon$. Choisir$\epsilon$ de telle sorte que $x-\epsilon>0$ on a ça

$\forall n>N_0,\ 0<x-\epsilon< (-1)^n x_n$.

Mais c'est impossible comme pour les impairs $m>N_0$, $(-1)^m x_m<0$. $\therefore x\not>0$ De même, nous pouvons prouver que $x\not<0$.

Donc $x = 0$.Donc $(-1)^nx_n \to 0$

$\implies \forall\ \epsilon \ \exists\ N_1\ \forall m>N_1,\ |(-1)^m x_m|<\epsilon/2,\exists\ N_2\ \forall n>N_2\ |(-1)^n x_n|<\epsilon/2 $.

Donc pour $\forall m,n>\max(N_1,N_2), |(-1)^m x_m|<\epsilon/2, |(-1)^n x_n|<\epsilon/2$

Donc $\forall\ \epsilon \ \exists\ N\ \forall m,n>N,\ |x_m-x_n|<|x_m|+|x_n|<\epsilon $.

Donc $x_n$est cauchy. Et puisque Cauchy enchaîne$\mathbb R$ sont convergents, donc $x_n$ est convergente.

Maintenant si $x_n \leq 0, Let z_n=-x_n\geq 0$, par l'argument ci-dessus $z_n$ converge, ce qui implique à son tour que $x_n$ converge.