Converse au théorème de Darboux

Question

J'ai réfléchi aux concepts liés à la différentiabilité. En particulier, étant continu, ayant une primitive (c'est-à-dire étant le dérivé de quelque chose), et la propriété de valeur intermédiaire (satisfaisant la conclusion du théorème de valeur intermédiaire, parfois appelé étant une fonction de Darboux).

Les fonctions continues ont l'IVP, par la valeur Int Thm, mais l'inverse est faux. Les fonctions continues ont des primitives, par le Fonds Thm de Calc, mais les dérivés n'ont pas besoin d'être continus. Et les fonctions qui sont dérivées ont l'IVP, par le théorème de Darboux.

L'implication que je n'ai pas pu trouver est si les fonctions avec l'IVP doivent avoir des primitives. Les contre-exemples classiques pour ces types de questions sont les fonctions$f(x)=x^n\sin\left(\frac1x\right)$. Mais si nous regardons, disons$f(x)=\sin\left(\frac1x\right)$, cela a l'IVP, mais quelles méthodes existe-t-il pour montrer que cela n'a pas de primauté puisque nous ne pouvons pas utiliser le théorème de Darboux?

Answer 1

Une fonction avec IVP n'a pas forcément une primitive. La raison principale est qu'une fonction IVP peut être extrêmement discontinue, alors qu'une fonction avec une primitive ne le peut pas.

Dans un peu plus de détails, la fonction Conway Base 13 est une fonction qui a l'IVP, mais n'est nulle part continue.

En revanche, si $f$ a une primitive alors $f$doit être une fonction de classe 1 de Baire (c'est-à-dire une limite ponctuelle de fonctions continues), que nous pouvons voir simplement en regardant la définition d'être un dérivé. L'ensemble des discontinuités d'une fonction de Baire de classe 1 est toujours un ensemble maigre.

Ensemble, ces deux choses montrent que la fonction Conway est une fonction IVP sans primitive.