Corrélation vs dépendance en finance

Question

J'ai trouvé un exemple qui montre comment deux variables aléatoires non corrélées peuvent être dépendantes: une variable normalement distribuée $X$ n'est pas corrélé à son carré $Y=X^2$. Ce qui peut être$X$ et ce qui peut être $Y$( en termes financiers ) afin qu'ils représentent une forme proche d'une parabole lorsqu'ils sont tracés en$(x,y)$avion (les deux branches sont présentes )? Cela donnerait 0 corrélation, mais pas d'indépendance. Existe-t-il un tel exemple?

Answer 1

L'exemple le plus simple pourrait être Y = variance réalisée d'un stock et X = rendement du stock. Clairement, ceux-ci sont dépendants puisqu'ils sont tous deux calculés à partir des cours quotidiens des actions. X peut être positif ou négatif, mais Y est toujours positif. Si des mouvements importants de l'action se produisent (à la hausse ou à la baisse), nous nous attendons à mesurer une forte volatilité réalisée. Cela pourrait donner une corrélation proche de zéro pour X et Y.

Answer 2

Une corrélation et une dépendance ne peuvent pas être interchangées. La dépendance est un terme plus général que deux variables radnom sont en quelque sorte liées. La corrélation concerne uniquement la dépendance linéaire. Donc, dans vos exemples de variables$X$ et $Y$ sont dépendants parce que $Y=X^2$. Comme vous l'avez souligné, il s'agit d'une dépendance quadratique, non linéaire, il n'y a donc pas de corrélation.

Une mesure générale pour les variables aléatoires normalement distribuées mesurant à quel point deux variables sont liées est appelée covariance et est définie comme$$ \text{cov}(X,Y)=\text{E}\{[X-\text{E}(X)][Y-\text{E}(Y)]\}, $$ où $\text{E}(.)$ signifie la valeur attendue.

Voici quelques autres mesures de la dépendance.

Answer 3

Je suppose qu'il y a des exemples dans le trading d'options, chaque fois que les choses dépendent de Gamma (qui est essentiellement un terme au carré). Par exemple, couverture delta: la stratégie est, dans la version classique, longue l'option et courte delta fois le sous-jacent. Si vous suivez les variations des bénéfices / pertes au fil du temps et les comparez aux modifications du sous-jacent, vous pouvez souvent voir une courbe en forme de U.

Un exemple (R-code):

library("NMOF")
steps <- 100

## simulate a path of the underlier
S <- gbm(npaths = 1, timesteps = steps,
         S0 = 100, v = 0.3^2, tau = 1, r = 0)

## compute option value + delta
option <- vanillaOptionEuropean(S = S,
                                X = 100,
                                tau = seq(1, 0.1, length.out = steps + 1),
                                r = 0,
                             v = 0.3^2)
plot(diff(S), -diff(S) * option$delta[-length(option$delta)] +
              diff(option$value),
     xlab = "Change in S", ylab = "PL of delta-hedged position")