Courbure des variétés de type général log

Question

Laisser $X$ être une variété projective et $\Delta$un diviseur avec des croisements normaux simples. Considérer$X$ comme la compactification d'une variété quasi-projective $X_0$ avec frontière $\Delta$, c'est à dire $X_0 = X \backslash \Delta$. Supposer que$(X,\Delta)$ est de type log général, c'est-à-dire $K_X+D$ est grand.

Un théorème de Cadorel [Cad16] nous dit qu'une paire lisse projective log $(X,\Delta)$ avec $X_0$ admettant une métrique de Kähler de courbure bissectionnelle non positive et de courbure sectionnelle holomorphe négative, puis le faisceau de différentiels logarithmiques $\Omega_X(\log(\Delta))$est grand. Si l'on suppose aussi que$\omega$ est borné près de $D$, cela peut être renforcé pour $\Omega_X$ être grand.

Guenancia [Gue18], dans un esprit similaire, a montré que si $(X, \Delta)$ est log lisse avec la courbure de section holomorphe de $\omega$ sur $X_0$ borné ci-dessus par une constante négative, alors $(X,\Delta)$ est de type log général.

L'inverse est-il vrai? Autrement dit, étant donné une paire log lisse$(X, \Delta)$ de type logarithmique général, la courbure sectionnelle est-elle limitée ci-dessus par une constante négative (non positive?) sur $X_0$; la courbure bissectionnelle est-elle non positive sur$X_0$?

[Cad16] - Cadoral, B., Différentiels symétriques sur des variétés hyperboliques complexes à cuspides , arXiv: 1606.05470, (2016)

[Gue18] - Guenancia, H., Variétés quasi-projectives à courbure sectionnelle holomorphe négative , arXiv: 1808.01854v3, (2018)

Answer 1

Non, ce n'est pas vrai, même pour $\Delta=\emptyset$. Si$X$admet une métrique de Kähler avec une courbure bissectionnelle holomorphe négative, de même que toutes ses sous-variétés; en particulier, toutes ses sous-variétés sont de type général.

Cependant, de nombreuses variétés de type général admettent des sous-variétés avec une dimension Kodaira non maximale (faire exploser toute variété de type général le long d'un centre lisse par exemple).

Même dans le cas minimal, il existe des hypersurfaces de l'espace projectif avec un ample faisceau canonique qui admettent des courbes rationnelles (par exemple certaines hypersurfaces de Fermat).