CW-structure sur $CX$ avec un seul $0$-cellule?

Question

Laisser $X$ être un complexe CW connecté au chemin, avec une structure CW avec un $0$-cellule.

Nous définissons le cône sur $X$ être l'espace

$$CX:= (X \times I) /(X \times \{1\}).$$

Si nous équipons l'intervalle $I$ avec la structure CW habituelle avec deux $0$-cellules et une $1$-cell, puis la structure CW qui est induite sur $CX$ a deux $0$-cellules. L'un correspond à l'unique$0$-cell dans $X$, et un correspond au factorisé $X \times \{1\}$. $X$ s'intègre en tant que complexe CW dans $CX$.

Est-il possible de construire le cône sur $X$ de telle manière qu'il puisse être équipé d'une structure CW avec un seul $0$-cell, et tel que $X \hookrightarrow CX$ est toujours une inclusion de $CW$-des complexes? Ou existe-t-il une autre façon d'intégrer$X$ - en tant que complexe CW - dans un espace contractable $CX$qui n'a qu'une seule cellule nulle (cet espace contractable n'ayant pas à être homéomorphe au cône)? Une sorte d'analogue théorique d'homotopie à la construction ci-dessus, mais avec cette structure CW alternative?

Ceci est possible dans le cas de $X = S^1$, par exemple. Nous pouvons équiper$CX = D^2$ avec une structure où nous avons "écrasé" les deux $0$-cellules qui surgiraient après la construction du cône sur $S^1$ de la manière ci-dessus.

Answer 1

Oui! Cela peut être appelé gratuitement un modèle pour la 0ème approximation de Postnikov de$X$.

Commencer avec $X$et attacher inductivement des cellules pour tuer tous les groupes d'homotopie, de la même manière que vous créeriez un espace Eilenberg-Maclane. Après avoir tué tous les groupes d'homotopie, nous avons un complexe CW avec des groupes d'homotopie triviaux. Par Whitehead, c'est contractable. Par construction, X est un sous-complexe. Clairement, nous n'avons ajouté aucune cellule 0.

Une question intéressante est de savoir si vous pouvez créer ce fonctorial sans changer l'exigence sur les cellules 0.