Décomposer une permutation en 3 cycles

Question

J'ai deux exercices que je ne sais pas résoudre:

1. Ecrire la permutation $α = (1 2)(3 4)$ en tant que produit de 3 cycles
2. Ecrire la permutation $α = (1 2 8 3 7)(4 5 6)$ en tant que produit de 3 cycles

Je sais convertir une permutation en une composition de 2 cycles, mais pas de 3 cycles. J'imagine qu'il y a une règle pour quand cela est possible, en fonction des propriétés paires / impaires, mais comme j'utilise les exercices mentionnés pour m'aider à en savoir plus sur la parité de permutation, je ne peux pas encore suivre les arguments basés sur cette compréhension.

De plus, je travaille avec une composition de gauche à droite de telle sorte que $(123) = (12)(13)$.

Merci d'avance pour votre aide.

Answer 1

Tout d'abord, notez que, puisque les 3 cycles sont pairs, et que les produits de permutations paires sont même eux-mêmes (si vous savez ce que cela signifie, cela vient du fait que la carte envoyant chaque permutation à son signe est un homomorphisme ), pour une permutation pour être écrit comme un produit de 3 cycles, il faut qu'il soit uniforme. Heureusement, votre$\alpha$sont.

Maintenant, laissez-moi vous donner l'argument général ici, que j'espère que vous pourrez vous spécialiser dans les cas ci-dessus. Prenez une permutation uniforme$\sigma$ et écrivez-le comme un produit de transpositions, disons $\tau_1\cdots\tau_k$, où $k$doit être égal. Regarder$\tau_1\tau_2$tu peux supposer $\tau_1\neq\tau_2$, sinon leur produit est la permutation identique. Ensuite, vous avez deux cas:

1. $\tau_1=(ab),\tau_2=(ac)$, c'est à dire $\tau_1,\tau_2$ permute un nombre commun, disons $a$. Dans cette situation, comme vous l'avez noté pour$(123)$, $(ab)(ac)=(abc)$, donc $\tau_1\tau_2$ est un cycle à 3;
2. $\tau_1=(ab),\tau_2=(cd)$, avec $a,b,c,d$différents, c'est-à-dire qu'ils sont disjoints. Dans ce cas, écrivez$(ab)(cd)=(ab)(bc)(bc)(cd)$ et vous obtenez un produit de deux 3 cycles par le point 1.

Itérer et utiliser le fait que $k$ est pair, vous obtenez une décomposition complète de $\sigma$en 3 cycles. Incidemment, cela prouve en fait que toute permutation paire peut être écrite comme un produit de 3 cycles (encore une fois, à condition que vous soyez familier avec la terminologie,$A_n$ est généré par 3 cycles).

Answer 2

Cristofer a déjà répondu à votre question, donc je vais juste ajouter le cas général puisque vous vous demandiez s'il y a une "règle" pour quand les choses pourraient être décomposées. C'est quelque chose que j'ai appris de l'algèbre et de la géométrie de Beardon, mais il y a sûrement plus de références.

Théorème. Laisser$\sigma\in S_n$ être une permutation, $2 \leq m \leq n.$ ensuite $\sigma$ peut être décomposé comme un produit de $m$-bicyclettes $\iff$ Soit $m$ est pair ou $\sigma$ est une permutation uniforme.

Preuve. $\implies$ devrait être facile, comme si $\sigma$ est une permutation étrange alors tous les $m$-les cycles doivent être des permutations impaires, donc $m$ est même.

$\impliedby$ Cas I. Si $\sigma$ est une permutation paire, alors remarquez $\left(a_{1} a_{2}\right)\left(a_{1} a_{3}\right)=\left(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \cdots a_{m}\right)\left(a_{m} \cdots a_{4} a_{3} a_{1} a_{2}\right)$ (ou, l'inverse puisque vous utilisez une composition de gauche à droite) et l'astuce de Cristofer dans (2) qui $(ab)(cd)=(ab)(bc)(bc)(cd)$ te permettrait d'écrire $\sigma$ en tant que produit de $m$-bicyclettes.

Cas II. Si$\sigma$ est une permutation étrange mais $m$ est pair, puis appliquez le cas I pour décomposer $\sigma (1 2 3 ... m)$ dans $m$-cycle qui est une permutation paire, et se multiplie $(m (m-1) ... 2 1)$ à droite quand tu as fini te donne $m$-cycle décomposition de $\sigma$.