Définition alternative de l'information cohérente d'un canal quantique

Question

Laisser $T: M_n \to M_n$être un canal quantique. Si je comprends la définition 13.5.1 du livre "Théorie de l'information quantique" de Wilde, l'information cohérente$Q(T)=\max_{\phi_{AA'}} I(A \rangle B)_\rho$ de $T$est donné par \ begin {équation} Q (T) = \ sup _ {\ rho \ textrm {pure}} \ Big \ {H \ big ((\ mathrm {tr} \ otimes T) (\ rho) \ big) - H \ big ((\ mathrm {Id} \ otimes T) (\ rho) \ big) \ Big \} \ end {equation} où le supremum est pris sur tous les états purs bipartites$\rho$ au $M_n \otimes M_n$.

Il est vrai que l'on peut remplacer le supremum par un supemum sur tous les états (pas forcément purs)?

Answer 1

Je suis la notation de Wilde ici. Les informations cohérentes d'un canal$N:A' \rightarrow B$ est donné par

$$Q(N) \equiv \max_{\phi_{A A^{\prime}}} I(A\rangle B)_{\rho},$$

où $\rho_{AB}=N_{A^{\prime} \rightarrow B}\left(\phi_{A A^{\prime}}\right)$. Notez que le canal n'agit que sur le$A'$S'inscrire. le$A$ registre est utilisé pour purifier l'entrée du canal.

Alors oui, vous pouvez envisager des états mixtes sur $\phi_{AA'}$ mais alors vous pouvez simplement purifier ceci à certains $\phi_{RAA'}$ et renommer le $RA$ s'inscrire en tant que $A$.

Enfin, un point secondaire mais notez que l'information cohérente est obtenue en prenant le maximum sur tous les états purs d'entrée, pas le supremum.