Définition de supremum
Je suis simplement intrigué par une observation que j'ai faite sur les textes de premier cycle dans Real Analysis. Les concepts de supremum et infimum ne sont pas particulièrement faciles à appréhender pour les étudiants qui sont frais sur le sujet, et il leur est sûrement beaucoup plus facile de comprendre le maximum et le minimum d'un ensemble (y compris le fait qu'ils peuvent ne pas exister) et des limites supérieures. Il suffit d'indiquer des intervalles tels que$[0,2]$ et $[0,2)$ et parler du nombre 2 et du nombre 3. Alors pourquoi ne pas définir la moindre borne supérieure d'un ensemble $S$ (dans un champ ordonné) comme le minimum (il existe) de l'ensemble de toutes les bornes supérieures pour $S$?
J'ai examiné un grand nombre de textes de premier cycle pour l'analyse réelle, et je n'ai jamais trouvé cette définition simple, ni même le mot «minimum» mentionné. La plupart d'entre eux le définiront en utilisant la manière beaucoup plus difficile "c'est une borne supérieure, et pour tout nombre strictement inférieur, il y en aura, etc. etc.". Quelques-uns diront: c'est une borne supérieure$M$ tel que si $x$ est une borne supérieure, alors $M\leq x$. Encore une fois, pourquoi ne pas dire, "c'est le minimum de l'ensemble de toutes les limites supérieures"? Certains diront simplement "c'est la moindre borne supérieure", mais même ceci est un changement de langage, du minimum au minimum, et dans tous les cas, ils utilisent "la borne inférieure" comme nom du concept, puis le définissent en utilisant la manière alambiquée.
Je ne veux pas publier cela comme sujet de discussion, seulement comme une véritable question de savoir si je manque quelque chose d'important qui expliquera pourquoi c'est une bonne idée de définir le supremum de cette façon.
Réponses
Je ne pense pas qu'il y ait de différence entre dire que c'est "c'est la moindre borne supérieure" ou dire que c'est "c'est le minimum de l'ensemble de toutes les bornes supérieures".
Laisser $S$ être un ensemble et laisser $M$être l'ensemble de toutes les limites supérieures. Ensuite, nous avons deux cas possibles:$\exists \max S$ ou $\nexists \max S$:
$\exists \max S$:
Si $\exists \max S$, alors cela signifie que $\forall s \in S, s \leq \max S$, donc cela implique que $\max S \in M$.
Maintenant, supposons que $\max S$ n'est pas le minimum de $M$. Cela signifie que:$\exists m \in M: m < \max S$. Ensuite,$\forall x \in S, x \leq m$, car $m$est également une limite supérieure. Mais$\max S \in S$, donc cela signifie que $\max S \leq m$. La propriété déterminante de$m$ était: $m \in M: m < \max S$. C'est donc une contradiction. Cela signifie que$\max S$ est en effet le minimum de $M$ Et ainsi $\sup S = \min M = \max S$.
$\nexists \max S$:
Supposons maintenant que $\nexists \max S$. Laisser$M$ être l'ensemble de toutes les limites supérieures.
Supposons que $\nexists \min M$. Cela signifie que$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. Cela signifierait que si$a_1 \in M$, puis $\forall s \in S$: $s \leq a_1$. Mais parce que$a_1$ n'est pas un minimum alors $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. ce qui signifie que nous pouvons nous rapprocher arbitrairement comme nous le voulons de$s$. Alors cela signifie que nous pouvons trouver une séquence$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ tel que $\lim _n a_n = s$.
Maintenant, laisse $s_1, s_2 \in S$ tel que $s_1 < s_2$. Ensuite, nous pouvons trouver une séquence$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ tel que $\lim _n a_n = s_1$. Mais parce que nous pouvons nous rapprocher arbitrairement de$s_1$, cela signifie que $\exists k \in \Bbb N:$ si $n \geq k$ puis $s_1 < a_n < s_2$. C'est une contradiction, car$a_n \in M$est une borne supérieure. Cela signifie que$\exists \min M$.
Alors concluez que $\sup S = \min M$ même si $\nexists \max S$.
Donc, pour chaque ensemble $S$, $\sup S = \min M$. Vous pouvez faire un argument similaire pour montrer que$\inf S = \max M$