Définitions des ensembles ouverts

Question

J'ai suivi un vrai cours d'analyse au cours de mon deuxième semestre. Nous avons étudié les espaces métriques de bébé Rudin. En cela, il a été clairement défini que les espaces métriques qu'un ensemble est ouvert si, pour chaque point à l'intérieur, nous pouvons trouver un voisinage de ce point qui se trouve complètement à l'intérieur de cet ensemble.

Maintenant dans mon quatrième semestre, je suis un cours d'introduction à la topologie. Nous suivons Munkres. Dans le livre, il est entendu que si un sous-ensemble$U$ appartient à une topologie d'un ensemble $X$, puis $U$ est ouvert dans $X$.

Je suis vraiment confus entre les deux car ils sont utilisés de manière interchangeable. Quelqu'un peut-il expliquer si les deux définitions sont équivalentes ou non?

Answer 1

Dans un espace métrique, un ensemble est ouvert s'il est membre de la topologie (implicite) constituée de tous les ensembles décrits via les voisinages comme vous le faites. La topologie (en tant qu'ensemble d'ensembles ouverts) n'est pas mentionnée explicitement, mais elle est là.

La notion équivalente dans un espace topologique arbitraire est celle d'une topologie générée par une base: une base est un ensemble d'éléments de la topologie tel que donné n'importe quel élément $U$ de la topologie et de tout $x\in U$, il existe un $B$ dans la base telle que $x\in B\subseteq U$. La base donnée pour un espace métrique est l'ensemble de toutes les boules ouvertes.

Answer 2

En étudiant les espaces métriques, on se rend vite compte du rôle fondamental joué par les ensembles ouverts (tels que définis dans l'article original).

Ceci est attesté par des résultats montrant que plusieurs autres notions importantes peuvent être formulées en termes d'ensembles ouverts seuls (n'impliquant pas la métrique).

Par exemple: une fonction est continue ssi l'image inverse de chaque ouverture jeu est ouvert; une séquence converge vers un point$a$ssi chaque ensemble ouvert contenant$a$ contient finalement tous les points de la séquence.

Cela conduit à soupçonner que la métrique est jetable, c'est-à-dire que si l'on sait quels ensembles sont ouverts et rien d'autre, on peut développer de grandes parties de la théorie sans entrave.

C'est l'idée derrière la définition d'une topologie, où, ignorant toute métrique, on postule une collection d'ensembles pour appeler les ensembles ouverts.