Densité d'un espace de séquence particulier

Question

Pour $a\in\mathbb R$, laisser $h_a$ être l'espace de Hilbert des séquences défini par $$ h_a=\left\{(x_n):\sum_{n\in\mathbb Z}(1+n^2)^a|x_n|^2<\infty\right\}$$ et produit intérieur $\langle(x_n),(y_n)\rangle_a=\sum_{n\in\mathbb Z}(1+n^2)^ax_n\overline{y_n}$.

Prouvez que si $b>a$ puis $h_b$ est dense dans $h_a$.

Tentative: jusqu'à présent, j'ai montré que $b>a$ puis $h_b\subset h_a$. Cependant, je n'ai pas d'idée claire sur la façon de montrer cela$h_b$ est dense dans $h_a$. J'ai probablement besoin de montrer que pour tout élément de$h_a$ il y a une séquence dans $h_b$converger vers elle; au-delà, je suis coincé.

Toute aide ou orientation sur cette question serait grandement appréciée. Je vous remercie!

Answer 1

Laisser $(x_n) \in h_a$. Laisser$y_n=x_n$ pour $|n| \leq N$ et $y_n=0$ pour $|n| >N$. ensuite$(y_n) \in h_b$. Maintenant la norme de$(x_n-y_n)$ dans $h_a$ est $\sqrt {\sum_{|n|>N} (1+n)^{a}|x_n|^{2}}$. Rappelez-vous celui des séries$\sum c_n$ des nombres non négatifs est convergent que $\sum_{|n|>N|} c_n \to 0$ comme $ N \to \infty$. Par conséquent, étant donné$\epsilon >0$ nous pouvons trouver $N$ tel que $\|(x_n)-(y_n)\| <\epsilon$.