Dérivée complexe - comment ce résultat est-il obtenu?

Question

Je suis assez nouveau dans le domaine de l'algèbre complexe. Au cours de mes études, j'ai rencontré le terme suivant:

$$(z - \bar{z}) H(z)$$

où $z$ est une variable complexe, $\bar{z}$ son conjugué complexe, et $H(z)$ est une fonction complexe dépendant de $z$. Les auteurs prennent le dérivé complexe par rapport à$z$ et obtenez:

$$\frac{\partial}{\partial z}\left( (z - \bar{z}) H(z) \right) = H(z) + z\frac{\partial H(z)}{\partial z} - \bar{z}\frac{\partial H(z)}{\partial z}$$

Maintenant ma question: comment ce résultat a-t-il été obtenu?

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Ma propre approche ressemblerait à ceci:

$$\frac{\partial}{\partial z}\left( (z - \bar{z}) H(z) \right)$$ Tirer $H(z)$ à l'intérieur de la paranthèse $$\frac{\partial}{\partial z}\left( zH(z) - \bar{z}H(z) \right)$$ Et diviser les termes $$\frac{\partial}{\partial z}\left( zH(z)\right) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\bar{z}H(z) \right)$$ Maintenant, appliquez la règle de la chaîne $\frac{\partial}{\partial x}a(x)b(x) = a'(x)b(x) + a(x)b'(x)$:

$$\frac{\partial}{\partial z} zH(z) + z\frac{\partial}{\partial z}H(z) - \frac{\partial}{\partial z}\bar{z}H(z) - \bar{z}\frac{\partial}{\partial z}H(z)$$

Maintenant, j'attends $\frac{\partial}{\partial z} z= \frac{\partial}{\partial z} \bar{z} = 1$:

$$H(z) + z\frac{\partial}{\partial z}H(z) - H(z) - \bar{z}\frac{\partial}{\partial z}H(z)$$

ce qui devrait se simplifier en:

$$z\frac{\partial}{\partial z}H(z) - \bar{z}\frac{\partial}{\partial z}H(z)$$

Ce n'est pas le résultat obtenu par les auteurs (le terme $H(x)$est manquant). Une explication possible pourrait être que$\frac{\partial}{\partial z} \bar{z}=0$, mais je serais surpris si $\bar{z}$ est indépendant de $z$. Savez-vous où est mon erreur? J'ai le moins confiance en l'avant-dernière étape.

Answer 1

En effet $\frac{\partial}{\partial z} \bar{z} = 0$. Souviens-toi que$\frac{\partial}{\partial z}$ est défini comme $\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}$, alors $\frac{\partial}{\partial z} \bar{z} = 1 + i^2 = 0$.

Answer 2

$\overline z$ est traitée comme une variable indépendante de $z$. Bien sûr, ce n'est pas vraiment indépendant, car il existe une correspondance univoque clairement définie entre les nombres complexes et leurs conjugués. Mais certains formalismes d'analyse complexe prétendent qu'il n'en est pas ainsi. C'est pourquoi je n'aime pas personnellement ces formalismes.

Mais il existe un moyen de rendre cela rigoureux. On peut noter que si une fonction$f(x+\mathrm iy)$ est complexe différentiable, alors $\partial_z f=\partial_x f=-\mathrm i\partial_y f$. De là, nous pouvons conclure que$$\partial_z f=\frac{1}{2}(\partial_x -\mathrm i\partial_y )f.$$On peut également noter que l'on peut appliquer l'opérateur différentiel sur le droit à des fonctions qui ne sont pas complexes différentiables. C'est donc une généralisation de l'opérateur dérivé complexe, et nous définissons$\partial_z:=\frac{1}{2}(\partial_x-\mathrm i\partial_y)$. Pour les fonctions différentiables complexes, cela ne renvoie toujours que la dérivée complexe. Mais il renverra également quelque chose pour les fonctions non différentiables, par exemple,$\partial_z\overline z=0$. En utilisant l'ancien sens où$\partial_z$ est strictement le dérivé complexe, $\partial_z\overline z$ n'existait tout simplement pas, puisque $\overline z$n'est pas différentiable de manière complexe. Vous n'auriez donc pas pu utiliser aucune des règles de différenciation en premier lieu.