Dériver une série de puissance

Question

Je veux trouver la fonction représentée par $\sum_{k=1}^{\infty} k^2z^k$.

Voici ce que j'ai fait jusqu'à présent:

commençant par $\sum_{k=1}^{\infty}z^k = \frac{z}{1-z}$comme définition d'une série géométrique. On peut alors prendre la dérivée de la série et la multiplier par z donnant$\sum_{k=1}^{\infty}kz^k = \frac{z}{(1-z)^2}$. En répétant ce processus, nous obtenons$\sum_{k=1}^{\infty}k^2z^k = \frac{z}{(1-z)^2} + \frac{2z^2}{(1-z)^3}$.

L'index doit-il changer lorsque nous intégrons cela, ou est-ce la solution finale et rien ne change?

Answer 1

Il existe un moyen d'éviter cette question de réindexation.

Je vais rendre les choses un peu plus difficiles avec $\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k$.

Écrire $$k^3=k(k-1)(k-2)+a k(k-1)+b k +c$$ c'est-à-dire $$c+k (-a+b+2)+(a-3) k^2=0$$ à partir duquel $a=3$, $b=1$ et $c=0$. Alors$$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^k+3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^k+\sum_{k=1}^{\infty}kz^k$$ qui peut écrire $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^{k-3}+3z^2\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^{k-2}+z\sum_{k=1}^{\infty}kz^{k-1}$$ c'est-à-dire $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'''+3z^2\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)''+z\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'$$