Déterminer la fermeture d'un ensemble

Question

Laisser être $ (V,\|\cdot\|) $ un espace vectoriel avec une norme $ \|\cdot\| $. Considérez un arbitraire$ x \in V $ un $ \varepsilon $-bille de $ x $: $$ B_\varepsilon (x) = \{y\in V:\ \|x-y\|<\varepsilon\}. $$

Alors la fermeture de ce bal est: $$ \overline{B_{\varepsilon}(x)}=\{y\in V:\ \|x-y\|\leq \varepsilon\}. $$

Problème: je ne comprends pas comment vous arrivez à cette expression. Je ne connais que ce genre de définition d'une fermeture d'un ensemble:

Laisser être $ (X,d) $ un espace métrique et $ T\subseteq X $. L'ensemble $$ \overline{T}=\bigcap(\{A\subseteq X:\ A\supseteq T\text{ is closed}\}) $$ s'appelle la fermeture de $ T $.

Au début, j'ai branché le $ \varepsilon $-ball dans cette définition:

$$ \overline{B_\varepsilon(x)}=\bigcap(\{A\subseteq V:\ A\supseteq B_\varepsilon(x)\text{ is closed}\}) $$

De là, je ne sais pas comment venir l'identité $$ \overline{B_\varepsilon (x)} = \{y\in V:\ \|x-y\|\leq \varepsilon\}. $$

Answer 1

Si $C$ est fermé et contient $B_{\epsilon} (x)$ alors il contient $\{x: \|x-y\|\leq \epsilon\}$: Prenez n'importe quel $y$ avec $\|x-y\|\leq \epsilon$ et considérez Let $0<t<1$ et $z=x+t(y-x)$. ensuite$z \in B_{\epsilon} (x)$. Nous devons prouver que$y \in C$. Sinon alors$y$ est dans le jeu ouvert $C^{c}$ donc il existe $r>0$ tel que $B_{r} (y)\subseteq C^{c}$. Mais$\|z-y\| <r$ si $t >1-r/\|x-y\|$. Donc$z \in C^{c}$ qui est un sous-ensemble de $B_{\epsilon} (x)^{c}$. Nous sommes arrivés à une contradiction. [$A^{c}$ désigne le complément de $A$]. Nous avons prouvé que$ \{x: \|x-y\|\leq \epsilon\} \subseteq \overline {B_{\epsilon} (x)}$.

L'inclusion inverse découle du fait que $\{x: \|x-y\|\leq \epsilon\}$ est lui-même un ensemble fermé qui contient $B_{\epsilon} (x)$.