Deuxième dérivée implicite générale

Question

Supposons que vous ayez une fonction $y = y(x(t))$. En prenant la première dérivée par rapport à t, on obtiendrait:

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} $$

Je suis un peu coincé à essayer de déterminer la deuxième dérivée, mais voici ce que j'ai en ce moment:

$$ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dx}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$

Je sais que ce n'est pas correct mais je ne sais pas exactement ce qui me manque.

Answer 1

Utilisez d'abord la règle produit pour obtenir

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)&=\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{dy}{dx}\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)\\\\ &=\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2}\tag1 \end{align}$$

Ensuite, appliquez la règle de chaîne au deuxième terme sur le côté droit de $(1)$ trouver

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{dx}{dt}\tag2$$

Substitution de $(2)$ dans $(1)$ donne le résultat convoité

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)&=\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2} \end{align}$$

Et nous avons terminé!