Différence entre les propriétés de différenciation dans $\mathbb{C}$ et $\mathbb{R}^2$
Je suis un cours sur le calcul complexe et on m'a fourni la définition suivante pour la dérivée d'une fonction:
Définition : Let$f$ être une fonction dont le domaine contient un voisinage d'un point $z_0$. Le dérivé de$f$ à $z_0$ est la limite $$f'(z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$$
Mais pour un cours sur le calcul multivariable, on m'a fourni la définition suivante (tirée de l'analyse de Munkres sur les collecteurs):
Définition : Let$A \subset \mathbb{R}^m$, laisser $f: A\to \mathbb{R}^n$. Supposer$A$contient un voisinage d' un . Nous disons$f$est différentiable en a s'il existe une matrice B n par m telle que$$\frac{f(\mathbf{a + h})-f(\mathbf{a}) - B\cdot \mathbf{h}}{|\mathbf{h}|}\ \text{as}\ \mathbf{h}\to 0.$$
Mon problème ici est que mon instructeur a déclaré que toute fonction $f:D\to \mathbb{C},\ D\subset \mathbb{C}$ qui a des dérivées partielles continues qui satisfont les équations de Cauchy-Riemann à certains $z\in D$ est également différenciable à $z$. Mais ce n'était pas le cas pour une fonction$g:D\to \mathbb{R}^2,\ D\in \mathbb{R}^2$en utilisant la deuxième définition pour un dérivé. À ma connaissance,$\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$ vu comme $\mathbb{R}$-modules, donc je m'attendrais à ce que l'opérateur différentiel se comporte également de la même manière.
- Pourquoi ces deux définitions ne concordent-elles pas?
- Ces deux définitions décrivent-elles des choses différentes?
- Une définition englobe-t-elle l'autre? (Si cela a du sens)
Edit : Au départ, j'ai déclaré que mon instructeur précisait que chaque fonction complexe continue en un point est également différentiable à ce point. C'était une erreur de ma part, car j'ai probablement confondu la déclaration. J'ai reformulé ma question, bien que les réponses soient toujours satisfaisantes et expliquent les différences entre ces deux définitions.
Réponses
Votre professeur se trompe sur la continuité impliquant une différenciation.
Il est vrai que la différentiabilité pour une fonction $\Bbb C\to \Bbb C$ est différent de la différentiabilité $\Bbb R^2\to\Bbb R^2$. Il est plus facile de comparer les deux notions de différentiabilité si nous modifions légèrement notre définition de dérivée. Le résultat final sera le même, mais c'est une manière différente d'y penser.
Étant donné une fonction $f:V\to W$ pour les espaces vectoriels $V,W$, le dérivé total de$f$ à $v\in V$ (s'il existe) est la carte linéaire $Df_{v}:V\to W$ tel que $$ o(h)=f(v+h)-f(v)-Df_{v}(h) $$ donne une fonction $o:V\to W$ qui satisfait $\lim_{h\to0}\frac{o(h)}{|h|}=0$.
Avec cette interprétation d'une dérivée, notez que la dérivée totale (réelle) d'une fonction $f:\Bbb R^2\to\Bbb R^2$ en un point est donné par un $2\times2$matrice réelle, et toute matrice de ce type peut apparaître comme la dérivée totale. La dérivée totale (complexe) d'une fonction$g:\Bbb C\to\Bbb C$ à un moment donné est un $1\times 1$ matrice complexe, c'est-à-dire un seul nombre complexe.
Il y a simplement plus de degrés de liberté disponibles pour une dérivée réelle $\Bbb R^2\to\Bbb R^2$. Si nous prenons une fonction différentiable complexe$\Bbb C\to\Bbb C^2$ avec dérivé $a+bi$ pour de vrai $a,b$, et réinterpréter en fonction $\Bbb R^2\to\Bbb R^2$, alors son dérivé sera $\left[\begin{smallmatrix}a&b\\-b&a\end{smallmatrix}\right]$. Une vraie fonction différenciable$\Bbb R^2\to\Bbb R^2$ dont le dérivé n'est pas de cette forme à chaque point ne sera pas différentiable complexe s'il est réinterprété comme $\Bbb C\to\Bbb C$.
Différenciabilité d'une fonction complexe $f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ est une condition plus stricte que la différentiabilité de la fonction réelle multivariée correspondante $g: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$.
Différenciabilité complexe de $f(z)$ à $z_0=x_0 + iy_0$ exige que la limite de $\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$ comme $z \rightarrow z_0$ est indépendant de la façon dont $z$ approches $z_0$. Cela peut être exprimé de manière informelle en disant qu'une fonction différentiable complexe mappe de petits disques autour$z_0$ aux petits disques autour $f(z_0)$. Si$f'(z_0) = ke^{i \theta}$ ces petits disques (dans la limite) sont tournés d'un angle $\theta$ et élargi / contracté par un facteur $k$.
Cependant, la dérivée d'une fonction différentiable réelle $g(x,y)$ à $\mathbf a = (x_0, y_0)$ peut prendre des valeurs différentes comme $(x,y)$ approches $\mathbf a$de différentes directions. C'est pourquoi le dérivé de$g$ à $\mathbf a$ est une matrice $B(\mathbf a)$plutôt qu'une valeur unique. Informellement,$g$ mappera de petits disques autour $\mathbf a$à de petites ellipses autour$g(\mathbf a)$.
Si $f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ est complexe différentiable alors la fonction correspondante $g: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$ sera vraiment différenciable - mais pas l'inverse.
Comme cela a été mentionné ci-dessus, la notion de différentiabilité complexe est beaucoup plus forte que la notion de différentiabilité en $\mathbb{R}^2$. Vous pouvez en fait comparer la notion de différentiabilité complexe à la notion de champ vectoriel libre de divergence et de curl$\mathbf{F}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$. En utilisant les équations de Cauchy-Riemann, on peut montrer que le champ vectoriel$\mathbf{F}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ donné par $\mathbf{F}(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$ est sans divergence et sans courbure si et seulement si la fonction complexe correspondante $f(z=x+iy) = P(x,y)-iQ(x,y)$est analytique. Soyez conscient du signe moins!
Cela a des applications dans la dynamique des fluides 2D. Pour chaque fonction complexe analtyic$f(x)$, il existe un champ vectoriel libre de divergence et de curl correspondant à la fonction $\overline{f'(x)}$. Cela décrira un écoulement de fluide stationnaire (indépendant du temps), incompressible et irrotationnel.