Différencier deux fois une expression simple

Question

Disons que j'ai:

$$ y = -\frac{1}{\tan(x)} $$

Comment établir une relation entre $\mathrm{d}^2x$ et $\mathrm{d}^2y$ ?

Ce que je sais:

$$\mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}x}{\sin(x)^2} $$

Answer 1

$$y=-\frac{1}{\tan(x)}=-\cot(x)$$ et $$\frac{dy}{dx}=\csc^2(x)$$

Trouver $\frac{\,d^2y}{\,dx^2}$, différencier $\csc^2(x)$ une fois de plus pour obtenir $$\frac{\,d^2y}{\,dx^2}=\frac{\,dy}{\,dx}\csc^2(x)=-2\csc^2(x)\cot(x)\Longrightarrow d^2y=-2\csc^2(x)\cot(x)dx^2\tag{*}$$

Puis, $$y=-\cot(x)\Longrightarrow x=\cot^{-1}(-y) $$ alors maintenant, $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{1+y^2}\Longrightarrow \frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{2y}{(1+y^2)^2}\Longrightarrow d^2x=-\frac{2y}{(1+y^2)^2}dy^2\tag{**}$$

De $(*)$, on a

$$d^2y=2\csc^2(x)ydx^2 \Longrightarrow y=\frac{d^2y}{dx^2}\frac{\sin^2(x)}{2}$$

Remplacer $y$ dans $(**)$ pour votre relation.

Je ne sais pas vraiment quelle signification ou signification il a; cela semble être un abus de notation. Cela ne fonctionnerait que sur certains domaines contraints de$y=-\cot(x)$

Answer 2

Indice :$$y^{(n)}(x)=\frac{d^ny(x)}{dx^n} \iff d^ny(x)=y^{(n)}(x)\space dx^n.$$