dimension d'un module et modules simples

Question

J'essaye de comprendre ces nouveaux concepts. Supposons que j'ai un scénario où$V$ est un module gratuit et aussi $V$ est un module de dimension finie, si V est simple, il faut $V$ être dimension $1$?

Def:

Un module est dit simple si un sous-module d'un tel module est soit $\{0\}$ ou lui-même.

Ma pensée est que si nous avons un $A$-module $V$ qui se trouve être également de dimension finie alors dites $V=\langle v_1,\cdots,v_n\rangle$, avec les scalaires viennent de $A$, alors sûrement si nous prenons un sous-ensemble approprié de ces vecteurs de base, leur étendue serait un sous-module approprié de $V$? Par conséquent$V$ n'est simple que si $n=1$? (bien sûr l'inverse n'est pas vrai, si$n=1$ alors ce ne sera pas forcément simple)

J'ai l'impression qu'il y a quelque chose qui ne va pas dans mon argument, j'ai dû confondre quelque chose des modules avec l'algèbre linéaire.

Answer 1

si $V$ est simple, doit $𝑉$ être la dimension 1?

Nan. La simplicité d'un module d'une algèbre sur un champ ne dit pas grand-chose sur sa dimension.

Considérez l'anneau de matrice $R=M_2(F)$ pour un champ $F$.

ensuite $F\times F$, considéré comme un droit $R$ module utilisant la multiplication matricielle, est un module simple qui est $2$ dimension sur $F$.

Un autre exemple avec la même idée: let $V$ être un espace vectoriel de dimension infinie, et $E$être son anneau de transformations linéaires. ensuite$V$ est en fait un simple $E$ module, et pourtant $V$ a infini $F$ dimension.

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Tout cela suppose que vous vouliez dire "dimension" de la manière la plus courante: comme invariant d'un espace vectoriel. Si en fait vous vouliez dire un autre type de dimension, vous devrez le spécifier. Il y en a plusieurs dont vous pourriez parler. Par exemple, si vous entendez par dimension "longueur de composition", alors oui , un module simple a une longueur de composition$1$.