Dimensionnalité finie d'Ext¹ de modules simples

Question

Pour plus de simplicité, laissez $\Bbbk$ être un champ de caractéristique $0$ et laissez $A$ être un associatif unital de génération finie $\Bbbk$-algèbre.

Est-il vrai que pour deux simples $A$-modules $S_1, S_2$, nous avons ça $\operatorname{Ext}^1_A (S_1, S_2)$ est de dimension finie?

Sinon, quel serait un simple contre-exemple et de quelles conditions avons-nous besoin pour garantir cela?

(Autant que je sache, l'algèbre de Weyl $\Bbbk \langle x, y \rangle / (xy - yx - 1)$ n'a que des modules simples de dimension infinie, mais leurs premiers groupes d'extension sont toujours de dimension finie.)

Answer 1

En fait, votre affirmation sur l'algèbre de Weyl n'est vraie que pour les modules holonomiques simples . Il s'avère qu'il existe un simple module non holonomique$M$ sur la 2ème algèbre de Weyl $A=A_2(\Bbb C)$ Pour qui $\operatorname{Ext}_A^1(M,M)$est de dimension infinie. Ceci est le corollaire 1.3 des «Modules non holonomiques sur les algèbres de Weyl et les algèbres enveloppantes» de Stafford.

Answer 2

C'est vrai si $A$est commutative. Nous pouvons calculer$\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ en utilisant les trois premiers termes d'une résolution libre de $S_1$; puisque$S_1$ est simple c'est cyclique donc le premier terme de cette résolution est $A$ et le second terme de cette résolution est tout ensemble fini de générateurs du noyau de $A \to S_1$, qui est fini parce que $A$est Noetherian; La noetherianness implique également que nous pouvons prendre le troisième terme (et en fait chaque terme) pour être libre fini. Nous obtenons donc une résolution libre finie par niveau

$$\cdots \to A^n \to A^m \to A \to S_1 \to 0$$

qui calcule $\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ comme sous-quotient de $\text{Hom}(A^m, S_2) \cong S_2^m$; par la Nullstellensatz$\dim_k S_2$ est fini donc $\dim_k \text{Ext}^1(S_1, S_2)$doit également être fini. Plus généralement$\dim_k \text{Ext}^n(S_1, S_2)$ est fini.

Si $A$ est non commutatif $\dim_k S_2$ peut être infini et le noyau de $A \to S_1$ peut être généré à l'infini (si $A$ n'est pas noéthérien) donc cet argument échoue à deux endroits.