distance entre ensemble fermé et compact
mon professeur nous a donné cet exercice:
La distance de deux sous-ensembles $S_{1}$ et $S_{2}$ d'un espace métrique complet donné $(X, d)$ : $$ d\left(S_{1}, S_{2}\right)=\inf \left\{d(x, y): x \in S_{1}, y \in S_{2}\right\}.$$
a) Supposons $S_{1}$ contient un seul point $x$ et $S_{2}$est fermé. Prouver$d\left(S_{1}, S_{2}\right)=d(x, y)$ pour certains $y \in S_{2}$.
b) Supposons $S_{1}$ est compact et $S_{2}$est fermé. Prouver$d\left(S_{1}, S_{2}\right)=d(x, y)$ pour certains $x \in S_{1}$ $y \in S_{2}$.
J'ai réussi à faire le premier item (en utilisant une séquence de Cauchy et le fait que X est un espace métrique), mais le second me pose quelques problèmes, d'abord j'ai essayé d'utiliser des séquences mais je ne suis allé nulle part, j'ai aussi pensé à propos de voir $d$comme une fonction continue dans l'espace produit, mais un compact x fermé n'est pas compact, donc je ne peux pas m'assurer d'obtenir le minimum. N'importe quelle idée aiderait. Merci.
MODIFIER: Ma preuve de a) Si $S_1 \cap S_2 \neq \varnothing$il n'y a rien à prouver. Si$S_1=\{x\}$, supposons que $S_1 \cap S_2 = \varnothing$, alors nous pouvons considérer $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une séquence telle que $y_n \in S_2$ pour toute $n \in \mathbb{N}$ et tel que $d(x,y_j)\leq d(x,y_i)$ si $i<j$. Clairement$(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy, donc elle converge vers un $y \in S_2$ (à cause du fait que $S_2$ est fermé et contient donc tous ses points d'accumulation).
Réponses
Voici un contre-exemple à (a) et donc aussi à (b).
Laisser $X$être l'ensemble de tous les entiers non négatifs. Définir une métrique$d$ sur $X$ en définissant $d(x,x)=0$, $d(0,x)=d(x,0)=1+\frac1x$ pour $x\gt0$, et $d(x,y)=2$ pour $x,y\gt0$.
L'espace métrique $(X,d)$ est complète (chaque séquence de Cauchy est finalement constante) et localement compacte (la topologie induite est discrète).
Laisser $S_1=\{0\}$ et $S_2=X\setminus\{0\}$. ensuite$d(S_1,S_2)=d(0,S_2)=1$ mais $d(0,y)\gt1$ pour chaque $y\in S_2$.
L'affirmation est fausse en général. Voir le contre-exemple dans les commentaires Cependant, c'est vrai si$X$est un espace vectoriel topologique dans lequel les boules fermées sont compactes. c'est-à-dire si$X$ a ce qu'on appelle des "belles boules fermées":
pour chaque entier $n$ il y a une paire $(x_n,y_n)\in S_1\times S_2$ tel que $d(x_n,y_n)<d(S_1,S_2)+1/n$. Depuis$d(x_n,y_n)\ge d(S_1,S_2)$ cela signifie que $d(s_n,y_n)\to d(S_1,S_2)$. Depuis$S_1$ est compact il y a une sous-séquence $(x'_n)$, de $(x_n),$ qui converge vers certains $x\in S_1$. C'est,$x'_n\to x\in S_1$. Notez que cela signifie en particulier que$(x'_n)$ est borné ainsi $d(y'_n,0)\le d(y'_n,x'_n)+d(x'_n,0)<C<\infty.$ Ainsi, la balle fermée $B_{2C}(0)$ est compact et contient $(y'_n)$, donc nous obtenons une sous-séquence $(y''_n$) de $(y'_n)$ qui converge vers certains $y\in B\cap S_2$ (car $S_2$ est fermé) .Ensuite, bien sûr, $x''_n$ converge toujours vers $x$ et donc $(x,y)$ est la paire qui fait le travail.