Distribution binomiale négative MGF

Question

La page Wikipedia de distribution binomiale négative répertorie sa fonction de génération de moment comme $(\frac{1 - p}{1 - pe^t})^r$.

Cependant, la page Fonction de génération de moment répertorie le MGF de la distribution binomiale négative comme $(\frac{pe^t}{1 - e^t + pe^t})^r$.

Desmos révèle que ceux-ci ne sont pas algébriquement équivalents. Lequel est correct et pourquoi cette disparité?

Answer 1

Il suffit de faire le cas dans lequel $r=1.$

• Laisser $X$ être le nombre d'essais indépendants avant le premier succès, avec probabilité $p$de succès à chaque essai. ensuite$X\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ et $\Pr(X=x) = (1-p)^x p.$ Ensuite nous avons $$ \begin{align} M_X(t) & = \operatorname E(e^{tX}) = \sum_{x=0}^\infty e^{tx} (1-p)^x p \\[8pt] & = \frac p {1 - (1-p)e^t} = \frac{1-q}{1-qe^t}. \end{align} $$

• Maintenant, laisse $X$ être le nombre d'essais indépendants nécessaires pour obtenir un succès, avec probabilité $p$de succès à chaque essai. ensuite$X\in\{1,2,3,\ldots\}$ et $\Pr(X=x) = (1-p)^{x-1} p.$ Ensuite nous avons $$ \begin{align} M_X(t) & = \operatorname E(e^{tX}) = \sum_{x=1}^\infty e^{tx} (1-p)^{x-1} p \\[8pt] & = \frac{pe^t}{1 - (1-p)e^t} = \frac{(1-q)e^t}{1 - qe^t}. \end{align} $$

Ainsi celle de la page MGF est correcte si l'on considère la "distribution binomiale négative" prise en charge sur l'ensemble $\{r,r+1,r+2,\ldots\},$ et celui de la page NB est correct si vous considérez que la distribution NB est prise en charge sur l'ensemble $\{0,1,2,3,\ldots\},$ et les rôles de $p$ et $q$ sont interchangés.

Notez que l'article de Wikipédia intitulé "Distribution binomiale négative" dit ceci:

Différents textes (et même différentes parties de cet article) adoptent des définitions légèrement différentes pour la distribution binomiale négative. Ils peuvent être distingués selon que le support commence à$k = 0$ ou à $k = r,$ qu'il s'agisse $p$ indique la probabilité d'un succès ou d'un échec, et si $r$ représente le succès ou l'échec, il est donc crucial d'identifier la paramétrisation spécifique utilisée dans tout texte donné.